10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 278 | 16. Sıra Sizde
Soru: 16. Sıra Sizde
Bir uçurtmanın t saniyede ulaştığı yerden yüksekliği (m), h(t) = t² + 2t ile modellenmiştir. Buna göre uçurtmanın uçurulması esnasında geçen zamanın uçurtmanın ulaşacağı yüksekliğe bağlı değişimi ile ilgili:
a) Cebirsel temsili yazınız.
Cevap: Yükseklik h verilince zamanı t cinsinden bulmak için denklemi çözeriz:
h = t² + 2t
t² + 2t − h = 0
İkinci dereceden denklemden:
t = (-2 ± √(4 + 4h)) / 2 = -1 ± √(h + 1)
Zaman negatif olamayacağı için uygun olan kök alınır:
s(h) = √(h + 1) − 1
b) h fonksiyonu ile ilişkisini nedenlerini belirterek açıklayınız.
Cevap: s(h) = √(h + 1) − 1, h(t) = t² + 2t fonksiyonunun tersini (uygun aralıkta) verir.
Çünkü h(t) yükseklikten zamanı bulmaya yarar; ters fonksiyon ise yükseklik → zaman dönüşümünü yapar. Ayrıca t ≥ 0 için h(t) sürekli artan olduğundan tersinin olması sağlanır (bire birdir).
c) Uçurtmanın yerden 440 metre yüksekliğe ulaşıncaya kadar geçen hareketinin yükseklik-zaman grafiğini çiziniz.
Cevap: h(t) = t² + 2t parabolü çizilir ve t ≥ 0 kısmı alınır.
Uçurtma 440 m yüksekliğe ulaştığında:
t² + 2t = 440
t² + 2t − 440 = 0
t = -1 + √441 = -1 + 21 = 20
Yani grafik (0,0) noktasından başlar ve (20, 440) noktasına kadar çizilir.
Önemli noktalar: (0,0), (20,440) (isteğe bağlı ara noktalar: t=10 → h=120, t=15 → h=255).
ç) Çizdiğiniz grafik temsilinden hareketle fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulunuz. Artan-azalan olma durumunu, bire bir olma durumunu inceleyiniz.
- Tanım Kümesi (zaman): [0, 20]
- Görüntü Kümesi (yükseklik): [0, 440]
- Artan-Azalan: [0,20] aralığında artandır, azalan olduğu aralık yoktur.
- Bire bir mi?: Evet, bire birdir. (Çünkü bu aralıkta sürekli artıyor.)