10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 278-282 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 278 Cevapları MEB Yayınları

15. Uygulama: Karekök Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 1: f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x)=√x şeklinde tanımlı karekök referans fonksiyonu için bağımlı değişkenle bağımsız değişken yer değiştirdiğinde oluşacak yeni fonksiyonun istendiği aşağıdaki tabloyu doldurunuz ve ilgili soruları cevaplandırınız.

Kısa Cevap: f(x)=√x fonksiyonunda tablo değerleri sırasıyla 0, 1, 2, 3 olur.
Değişkenler yer değiştirildiğinde oluşan yeni fonksiyon f⁻¹(x)=x² olur.

Verilen fonksiyon: f(x)=√x

Şimdi tabloda verilen x değerlerini yerine yazalım:

• x=0 ise y=√0=0
• x=1 ise y=√1=1
• x=4 ise y=√4=2
• x=9 ise y=√9=3

Buna göre ilk tablo şu şekilde olur:

Şimdi bağımlı ve bağımsız değişkenlerin yerlerini değiştirelim:

Yeni fonksiyonun cebirsel temsilini bulalım:

Başlangıçta: y=√x
Değişkenleri yer değiştirelim: x=√y
Her iki tarafın karesini alalım: x²=y
Yani: f⁻¹(x)=x²

Soru a) Karekök referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığını sınıf arkadaşlarınız ile tartışarak görüşünüzü paylaşınız.

Kısa Cevap: Elde edilen ilişki fonksiyondur.
Çünkü her x değerine yalnızca bir y değeri karşılık gelir.

Detaylı Cevap: Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için her bağımsız değişkene yalnızca bir bağımlı değişken karşılık gelmelidir. f(x)=√x fonksiyonu [0,∞) aralığında bire bir olduğu için değişkenler yer değiştirildiğinde oluşan yeni ilişki de fonksiyon olur. Bu nedenle tersi alınan ifade fonksiyon belirtir.

Soru b) Karekök referans fonksiyonunun tersinin de fonksiyon olma şartına yönelik varsayımda bulununuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon bire bir ve örten olduğunda tersi de fonksiyon olur.
Karekök fonksiyonu bu şartı sağladığı için tersi de fonksiyondur.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için öncelikle kendisinin bire bir olması gerekir. Ayrıca tanım ve değer kümeleri uygun seçildiğinde fonksiyon örten de olur.
f(x)=√x fonksiyonu için:

• Tanım kümesi: [0,∞)
• Değer kümesi: [0,∞)

Bu fonksiyon bu aralıkta artan, bire bir ve örten olduğu için tersi de fonksiyon olur. Bu nedenle:

f⁻¹(x)=x²
ifadesi [0,∞) aralığında bir fonksiyondur.

Tablonun Doldurulmuş Hâli

Açıklama: Bu sayfada karekök fonksiyonunun tersinin neden fonksiyon olduğu açıkça görülmektedir. Çünkü karekök fonksiyonu yalnızca negatif olmayan sayılar üzerinde tanımlıdır ve bu aralıkta her değer yalnızca bir kez alınır. Bu yüzden değişkenler yer değiştirildiğinde yeni ilişki bozulmaz ve x² şeklinde yeni bir fonksiyon elde edilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 279 Cevapları MEB Yayınları

15. Uygulama: Karekök Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 2: Cebirsel temsilleri verilen karekök fonksiyonların bağımlı ve bağımsız değişkenlerinin yerleri değiştirilerek farklı tanım ve değer kümesine göre oluşan yeni karekök fonksiyonları bulunuz. Bu işlemle ilgili aşağıda verilen tabloyu örnekteki gibi uygun şekilde doldurunuz.

g(x)=√x + 4

Tablo Değerleri

Kısa Cevap: Verilen x değerlerine göre y değerleri 4, 5, 6, 7 olur.
Yer değiştirilince yeni eşleşmeler (4,0), (5,1), (6,4), (7,9) şeklinde olur.

Detaylı Cevap: Fonksiyon: g(x)=√x + 4

• x=0 ise → y=4
• x=1 ise → y=5
• x=4 ise → y=6
• x=9 ise → y=7

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=4 için y=0
• x=5 için y=1
• x=6 için y=4
• x=7 için y=9

Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili

Kısa Cevap: g⁻¹(x)=(x-4)²

Başlangıçta: y=√x + 4

Yer değiştirirsek: x=√y + 4

x-4=√y

Her iki tarafın karesini alalım: y=(x-4)²

Bu nedenle: g⁻¹(x)=(x-4)²

Tanım ve Değer Kümesi

Kısa Cevap: Uygun tanım ve değer kümesi seçilirse tersi fonksiyon olur:
g:[0,∞)→[4,∞)

Detaylı Cevap: Karekök fonksiyonunda kökün içi negatif olamaz. Bu nedenle g fonksiyonunun tanım kümesi [0,∞) olur. Ayrıca √x daima 0 veya daha büyük olduğu için √x+4 ≥ 4 olur. Bu yüzden değer kümesi [4,∞) olur. Tersi de buna göre tanımlanır.

h(x)=√(x-2)

Tablo Değerleri

Kısa Cevap: Tabloda verilen değerler için:
x=0 için fonksiyon tanımsızdır,
x=2 için y=0,
x=6 için y=2,
x=11 için y=3 olur.

Detaylı Cevap: Fonksiyon: h(x)=√(x-2)

• x=0 ise → √(0-2)=√(-2), yani tanımsız
• x=2 ise → √0=0
• x=6 ise → √4=2
• x=11 ise → √9=3

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=0 için y=2
• x=2 için y=6
• x=3 için y=11

Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili

Kısa Cevap: h⁻¹(x)=x²+2

Detaylı Cevap: Başlangıçta:

y=√(x-2)

Yer değiştirirsek:

x=√(y-2)

Kare alalım:

x²=y-2

y=x²+2

Bu nedenle:

h⁻¹(x)=x²+2

Tanım ve Değer Kümesi

Kısa Cevap: Uygun küme seçimi:
h:[2,∞)→[0,∞)

Detaylı Cevap: Kök içinin negatif olmaması için:

x-2 ≥ 0
x ≥ 2

Bu yüzden tanım kümesi [2,∞) olur. Karekök sonucu negatif olmayacağı için değer kümesi [0,∞) olur. Böylece tersi de fonksiyon olarak yazılabilir.

k(x)=√(x+3)-1

Tablo Değerleri

Kısa Cevap: Uygun x değerlerine göre:
x=-3 için y=-1,
x=-2 için y=0,
x=1 için y=1,
x=6 için y=2 olur.

Detaylı Cevap: Fonksiyon: k(x)=√(x+3)-1

• x=-3 ise → √0 -1 = -1
• x=-2 ise → √1 -1 = 0
• x=1 ise → √4 -1 = 1
• x=6 ise → √9 -1 = 2

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=-1 için y=-3
• x=0 için y=-2
• x=1 için y=1
• x=2 için y=6

Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili

Kısa Cevap: k⁻¹(x)=x²+2x-2

Başlangıçta: y=√(x+3)-1

Yer değiştirirsek: x=√(y+3)-1

x+1=√(y+3)

Kare alalım: (x+1)²=y+3

x²+2x+1=y+3

y=x²+2x-2

Bu nedenle: k⁻¹(x)=x²+2x-2

Tanım ve Değer Kümesi

Kısa Cevap: Uygun küme seçimi:
k:[-3,∞)→[-1,∞)

Detaylı Cevap: Kök içi için:

x+3 ≥ 0
x ≥ -3

Bu nedenle tanım kümesi [-3,∞) olur.
Ayrıca √(x+3) ≥ 0 olduğundan:

√(x+3)-1 ≥ -1

Bu yüzden değer kümesi [-1,∞) olur.

Genelleme

Soru: Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak karekök referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği hakkında genellemeler yapınız.

Kısa Cevap: Tanım ve görüntü kümelerindeki her eleman için ifade tanımlı olmalı ve her x değerine tek bir y değeri karşılık gelmelidir.

Detaylı Cevap: Karekök referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların terslerinin de fonksiyon olabilmesi için:

• Köklü ifadenin içi negatif olmamalıdır.
• Fonksiyonun tanım kümesi doğru belirlenmelidir.
• Her bağımsız değişkene yalnızca bir bağımlı değişken karşılık gelmelidir.
• Değişkenler yer değiştirildiğinde de yeni ilişki fonksiyon özelliğini korumalıdır.

Kısaca, tanım ve görüntü kümelerinde tanımsızlık oluşturan değerler çıkarılırsa ve eşleşme tek değerli olursa, tersi de fonksiyon olur.

Açıklama : Bu sayfada karekök fonksiyonlardan türetilen ifadelerin tersleri incelenirken en önemli noktanın tanım kümesi olduğu görülmektedir. Çünkü köklü ifadelerde negatif sayıların karekökü alınamaz. Bu nedenle önce tanım kümesi doğru belirlenir, sonra değişkenler yer değiştirilerek ters fonksiyon bulunur. Böylece hem işlem doğru yapılır hem de yeni ilişkinin gerçekten fonksiyon olup olmadığı anlaşılır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 280 Cevapları MEB Yayınları

15. Uygulama: Karekök Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 3: Aşağıdaki tabloda cebirsel temsili verilen fonksiyonların ters fonksiyonunun cebirsel temsilini, bu fonksiyonların tersinin fonksiyon olmasını sağlayan tanım ve görüntü kümelerini yazınız. Fonksiyonun ve fonksiyonun tersinin grafiğini çiziniz. Tabloyu örnekteki gibi uygun şekilde doldurunuz. Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak genellemelerinizi ve varsayımlarınızı karşılaştırınız. Karşılaştırmanızı tablonun altındaki alana yazınız.

h(x) = √(x + 8)

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: h⁻¹(x) = x² - 8

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

y = √(x + 8)

Değişkenleri yer değiştirelim:

x = √(y + 8)

Her iki tarafın karesini alalım:

x² = y + 8

y = x² - 8

Bu nedenle:

h⁻¹(x) = x² - 8

Tanım ve görüntü kümeleri

Kısa Cevap: h : [-8, ∞) → [0, ∞)

Detaylı Cevap: Kök içinin negatif olmaması gerekir:

x + 8 ≥ 0
x ≥ -8

Bu yüzden tanım kümesi [-8, ∞) olur.
Karekök sonucu negatif olamayacağı için görüntü kümesi [0, ∞) olur.

Ters fonksiyon için:

h⁻¹ : [0, ∞) → [-8, ∞)

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ile tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: h(x)=√(x+8) grafiği sola 8 birim ötelenmiş karekök grafiğidir. Tersi olan h⁻¹(x)=x²-8 ise parabolün uygun koludur. İki grafik y=x doğrusuna göre simetrik görünür.

k(x) = 4√(x - 2)

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: k⁻¹(x) = x²/16 + 2

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: y = 4√(x - 2)

Değişkenleri yer değiştirelim: x = 4√(y - 2)

Her iki tarafı 4’e bölelim: x/4 = √(y - 2)

Kare alalım: x²/16 = y - 2

y = x²/16 + 2

Bu nedenle: k⁻¹(x) = x²/16 + 2

Tanım ve görüntü kümeleri

Kısa Cevap: k : [2, ∞) → [0, ∞)

Detaylı Cevap: Kök içinin negatif olmaması için:

x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

Bu yüzden tanım kümesi [2, ∞) olur.
Karekök sonucu negatif olmayacağı ve 4 ile çarpıldığı için görüntü kümesi [0, ∞) olur.

Ters fonksiyon için: k⁻¹ : [0, ∞) → [2, ∞)

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ve tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: k(x)=4√(x-2) grafiği sağa 2 birim ötelenmiş ve dikeyde genişletilmiş karekök grafiğidir. Tersi olan k⁻¹(x)=x²/16+2 ise parabolün uygun koludur. Bu iki grafik de y=x doğrusu boyunca simetriktir.

Karşılaştırma ve Genelleme

Kısa Cevap: Karekök fonksiyonlarda tersin fonksiyon olması için uygun tanım kümesi seçilmeli ve fonksiyon bire bir olmalıdır.

Detaylı Cevap: Tablodaki örnekler incelendiğinde şu sonuçlara ulaşılır:

• Karekök fonksiyonlar uygun tanım kümesinde bire birdir.
• Bu nedenle tersleri de fonksiyon olur.
• Fonksiyonun tanım kümesi, tersinin görüntü kümesi olur.
• Fonksiyonun görüntü kümesi, tersinin tanım kümesi olur.
• Fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Soru 4: Karekök referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerinin birer fonksiyon olmasına ilişkin şartlara ait önermenizi matematiksel olarak doğrulanacak şekilde sununuz.

Kısa Cevap: Tersinin fonksiyon olabilmesi için fonksiyon bire bir olmalı ve uygun tanım kümesi kısıtlaması sağlanmalıdır.

Detaylı Cevap: Bir karekök fonksiyon genel olarak uygun tanım kümesinde tek değerli ve artandır. Bu yüzden tersinin de fonksiyon olabilmesi için:

• Fonksiyon bire bir olmalıdır.
• Kök içini negatif yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
• Tanım ve görüntü kümeleri uygun seçilmelidir.

Bu şartlar sağlandığında, değişkenler yer değiştirildiğinde elde edilen yeni ifade de bir fonksiyon olur.

Açıklama: Bu sayfada karekök fonksiyonlardan türetilen ifadelerin tersleri hem cebirsel hem de grafiksel olarak incelenmektedir. En önemli nokta, karekök fonksiyonların uygun tanım kümesinde zaten bire bir olmasıdır. Bu nedenle tersleri rahatlıkla bulunabilir ve elde edilen grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olduğu açıkça görülür.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 281 Cevapları MEB Yayınları

15. Uygulama: Karekök Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 5: Matematik yazılımlarını kullanarak aşağıda verilen adımları gerçekleştiriniz.

1. adım: Matematik yazılımında Giriş kısmına f(x)=x yazarak doğrusal referans fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

2. adım: Aşağıdaki tabloda cebirsel temsilleri verilen fonksiyonları Giriş kısmına yazarak bu fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

3. adım: Verilen fonksiyonların ters fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümesini dikkate alarak bu fonksiyonların terslerinin cebirsel temsilini tabloda uygun alana yazınız.

4. adım: Ters fonksiyonun cebirsel temsilini matematik yazılımının Giriş kısmına yazarak bu fonksiyonların grafiklerini çiziniz.

5. adım: Tüm grafikleri örnekteki gibi tabloda uygun alanlara çiziniz.

Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak karekök referans fonksiyonu ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği ile bu fonksiyonların tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi belirtiniz. Bunu için tablonun altında alanı kullanınız.

h(x)=√(x-2)

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: h⁻¹(x)=x²+2

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: y=√(x-2)

Değişkenleri yer değiştirelim: x=√(y-2)

Her iki tarafın karesini alalım: x²=y-2

y=x²+2

Bu nedenle: h⁻¹(x)=x²+2

Tanım ve görüntü kümesi

Kısa Cevap: h:[2,∞)→[0,∞)

Detaylı Cevap: Kök içinin negatif olmaması gerekir:

x-2 ≥ 0
x ≥ 2

Bu yüzden tanım kümesi [2,∞) olur.
Karekök sonucu negatif olmayacağı için görüntü kümesi [0,∞) olur.

Ters fonksiyon için: h⁻¹:[0,∞)→[2,∞)

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ile tersi y=x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: h(x)=√(x-2) grafiği sağa 2 birim ötelenmiş karekök grafiğidir.
Tersi olan h⁻¹(x)=x²+2 ise parabolün uygun koludur. Bu iki grafik y=x doğrusuna göre yansıma hâlindedir.

k(x)=2√(x+1)

Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili

Kısa Cevap: k⁻¹(x)=x²/4 - 1

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: y=2√(x+1)

Değişkenleri yer değiştirelim: x=2√(y+1)

Her iki tarafı 2’ye bölelim: x/2=√(y+1)

Kare alalım: x²/4=y+1

y=x²/4 - 1

Bu nedenle: k⁻¹(x)=x²/4 - 1

Tanım ve görüntü kümesi

Kısa Cevap: k:[-1,∞)→[0,∞)

Detaylı Cevap: Kök içinin negatif olmaması için:

x+1 ≥ 0
x ≥ -1

Bu yüzden tanım kümesi [-1,∞) olur.
Karekök sonucu negatif olmadığı ve 2 ile çarpıldığı için görüntü kümesi [0,∞) olur.

Ters fonksiyon için:

k⁻¹:[0,∞)→[-1,∞)

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ile tersi y=x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: k(x)=2√(x+1) grafiği sola 1 birim ötelenmiş ve dikeyde genişletilmiş karekök grafiğidir.
Tersi olan k⁻¹(x)=x²/4 - 1 grafiği ise uygun paraboldür. Bu iki grafik de y=x doğrusuna göre simetrik görünür.

Tablonun Altındaki Yorum

Soru: Karekök referans fonksiyonu ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği ile bu fonksiyonların tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi belirtiniz.

Kısa Cevap: Fonksiyonların grafikleri ile terslerinin grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersini alırken her (a,b) noktası (b,a) noktasına dönüşür. Bu nedenle fonksiyonun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetriği, ters fonksiyonun grafiğini verir. Karekök fonksiyonlarda da aynı durum geçerlidir. Uygun tanım kümesi seçildiğinde grafik ile ters grafik birebir şekilde y=x doğrusu boyunca yansır.

Açıklama: Bu sayfada karekök fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların tersleri hem cebirsel hem grafiksel olarak incelenmektedir. En önemli sonuç, grafiklerin y=x doğrusuna göre simetrik olmasıdır. Böylece ters fonksiyon kavramı yalnızca işlemle değil, görsel olarak da daha kolay anlaşılır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 282 Cevapları MEB Yayınları

Soru 6: Karekök referans fonksiyonu ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait önermelerinizi; fonksiyonların tanım–değer kümesi, artan-azalanlık, maksimum-minimum noktaları ve simetri özellikleri bağlamında değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Karekök fonksiyonlar uygun tanım kümesinde bire birdir ve tersleri de fonksiyondur. Grafikleri tersleriyle birlikte y = x doğrusuna göre simetriktir.

Tanım ve Değer Kümesi

• Karekök fonksiyonlarda kök içi ≥ 0 olmalıdır.
• Bu nedenle tanım kümesi sınırlandırılır.
• Ters alınırken tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir.

Özet: f : A → B ise f⁻¹ : B → A olur.

Artan – Azalan Özelliği

• a > 0 ise fonksiyon artan,
• a < 0 ise fonksiyon azalan olur.

Önemli kural:
Artan fonksiyonun tersi de artandır.
Azalan fonksiyonun tersi de azalandır.

Maksimum – Minimum Noktaları

• Karekök fonksiyonlarda genellikle minimum noktası vardır.
• Maksimum yoktur (∞’ye gider).

Ters fonksiyonda:

• Minimum noktası y eksenine göre yer değiştirir.

Simetri Özelliği

En önemli sonuç: Fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Bu, şu anlama gelir:

• (a, b) noktası → (b, a) olur
• Grafikler aynadaki yansıma gibidir

Genel Matematiksel Model

Karekök fonksiyon: f(x) = a√(x - r) + k

Tersi: f⁻¹(x) = ((x - k)² / a²) + r

Genel Sonuç (Önerme)

Karekök fonksiyonların tersinin fonksiyon olabilmesi için:

• Tanım kümesi uygun seçilmelidir
• Fonksiyon bire bir olmalıdır
• Tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir
• Grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir

Açıklama: Bu sayfada karekök fonksiyonların tersleri sadece işlem olarak değil, mantık ve grafik ilişkisiyle ele alınmaktadır. Özellikle öğrencilerin anlaması gereken en kritik nokta, ters fonksiyonun grafiksel olarak y = x doğrusuna göre yansıma olmasıdır. Bu sayede ters kavramı hem cebirsel hem görsel olarak pekişir.