10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 273-277 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 273 Cevapları MEB Yayınları

14. Uygulama: Karesel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 1: f: R → R, f(x) = x² şeklinde tanımlı karesel referans fonksiyonunun bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu fonksiyonda bağımlı değişken (y) ile bağımsız değişken (x) yer değiştirdiğinde elde edilen yeni ilişkinin bir fonksiyon oluşturup oluşturmadığını inceleyiniz. Tabloyu tamamlayarak bu durumu değerlendiriniz ve oluşuyorsa cebirsel temsilini yazınız.

Kısa Cevap: f(x)=x² fonksiyonunda x ve y yer değiştirildiğinde oluşan ilişki fonksiyon belirtmez.
Çünkü bazı x değerleri için iki farklı y değeri oluşur.

Verilen fonksiyon: f(x)=x²

Önce tabloda verilen x değerleri için y değerlerini bulalım:

• x = -1 ise y = 1
• x = 0 ise y = 0
• x = 1 ise y = 1
• x = 2 ise y = 4

Buna göre ilk tablo:

Şimdi x ve y yer değiştirelim:

• ( -1 , 1 ) → ( 1 , -1 )
• ( 0 , 0 ) → ( 0 , 0 )
• ( 1 , 1 ) → ( 1 , 1 )
• ( 2 , 4 ) → ( 4 , 2 )

Yeni tablo:

Burada x=1 için iki farklı y değeri vardır: -1 ve 1.
Bu nedenle oluşan yeni ilişki fonksiyon değildir.

Cebirsel olarak:

y = x²
yer değiştirince
x = y²

Buradan:

y = ±√x

elde edilir. Bu ifade tek bir x değeri için iki farklı y verebildiğinden fonksiyon belirtmez.

Soru a) Karesel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığını sınıf arkadaşlarınız ile tartışarak görüşünüzü paylaşınız.

Kısa Cevap: Fonksiyon değildir.
Çünkü aynı x değeri için birden fazla y değeri oluşur.

Detaylı Cevap: Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için her x değerine yalnızca bir y değeri karşılık gelmelidir. Ancak karesel fonksiyonda değişkenler yer değiştirildiğinde:

x = 1 için y = -1 ve y = 1

olur. Bu da fonksiyon tanımına aykırıdır. Bu yüzden oluşan yeni ilişki fonksiyon değildir.

Soru b) Karesel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmama durumunun nedeni ile ilgili varsayımda bulununuz.

Kısa Cevap: Çünkü f(-1)=f(1)=1 olduğundan fonksiyon bire bir değildir.
Bire bir olmayan fonksiyonların tersi fonksiyon olmaz.

Detaylı Cevap: Karesel fonksiyonun temel sorunu, bire bir olmamasıdır. Çünkü farklı iki x değeri aynı y değerini verebilir:

f(-1)=1
f(1)=1

Yani iki farklı girdi aynı çıktıyı oluşturur. Bu durumda değişkenler yer değiştirildiğinde aynı x için iki farklı y ortaya çıkar. Böylece oluşan yeni ilişki fonksiyon olma özelliğini kaybeder.

Bu yüzden şu varsayım yapılabilir:

• Bir fonksiyon bire bir değilse, değişkenler yer değiştirildiğinde elde edilen ilişki fonksiyon olmayabilir.
• Karesel referans fonksiyonu tüm reel sayılarda bire bir değildir.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonun tersinin neden her zaman fonksiyon olmadığını öğreniyoruz. f(x)=x² fonksiyonu bütün reel sayılarda bire bir olmadığı için, x ve y yer değiştirildiğinde ortaya çıkan ifade tek değerli olmaz. Bu da ters fonksiyon konusunda en önemli kurallardan birini gösterir: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için önce kendisinin bire bir olması gerekir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 274 Cevapları MEB Yayınları

14. Uygulama: Karesel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

2. Soru: f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x)=x² şeklinde tanımlı karesel referans fonksiyonu için bağımlı değişkenle bağımsız değişken yer değiştirdiğinde oluşacak yeni fonksiyonun istendiği aşağıdaki tabloyu doldurunuz ve ilgili soruları cevaplandırınız.

Tabloyu Dolduralım

Kısa Cevap: f(x)=x² fonksiyonunda verilen x değerleri için y değerleri sırasıyla 0, 1, 4, 9 olur.
Değişkenler yer değiştirildiğinde yeni fonksiyon f⁻¹(x)=√x olur.

Verilen fonksiyon: f(x)=x²

x değerlerini yerine yazalım:

• x=0 ise y=0
• x=1 ise y=1
• x=2 ise y=4
• x=3 ise y=9

Buna göre ilk tablo:

Yer değiştirilmiş tablo:

Yeni fonksiyonun cebirsel temsili:

y=x²
x ve y yer değiştirirse: x=y²
Buradan: y=√x

Soru a) f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x)=x² şeklinde tanımlanan karesel referans fonksiyonunda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığını sınıf arkadaşlarınız ile tartışarak görüşünüzü paylaşınız.

Kısa Cevap: Fonksiyondur.
Çünkü bu aralıkta fonksiyon bire birdir.

Detaylı Cevap: f(x)=x² fonksiyonu tüm reel sayılarda bire bir değildir. Ancak [0,∞) aralığında yalnızca pozitif ve sıfır değerler alındığı için her y değerine yalnızca bir x değeri karşılık gelir. Bu yüzden değişkenler yer değiştirildiğinde oluşan yeni ilişki fonksiyon olur.

Soru b) Karesel referans fonksiyonunun tersinin de fonksiyon olma şartına yönelik varsayımda bulununuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon bire bir olursa tersi de fonksiyon olur.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için o fonksiyonun bire bir olması gerekir. Karesel fonksiyonun tüm reel sayılarda tersi fonksiyon olmaz. Ama tanım kümesi [0,∞) ya da (-∞,0] gibi bire bir olacak şekilde sınırlandırılırsa tersi de fonksiyon olur.

3. Soru: Cebirsel temsilleri verilen karesel fonksiyonların bağımlı ve bağımsız değişkenlerinin yerleri değiştirilerek farklı tanım ve değer kümesine göre oluşan yeni karesel fonksiyonların bulunması ile ilgili verilen aşağıdaki tabloyu örnekteki gibi uygun şekilde doldurunuz. Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak karesel referans fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği ile ilgili genellemeler yapınız. Genellemelerinizi tablonun altındaki alana yazınız.

h(x) = (x - 3)²

Tablo Değerleri

Kısa Cevap: Verilen x değerleri için y değerleri: 16, 9, 4, 1 olur.

• x=-1 ise → (-1-3)²=16
• x=0 ise → (0-3)²=9
• x=1 ise → (1-3)²=4
• x=2 ise → (2-3)²=1

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=16 için y={-1, 7}
• x=9 için y={0, 6}
• x=4 için y={1, 5}
• x=1 için y={2, 4}

Bu yüzden tüm reel sayılarda tersi fonksiyon değildir.

Farklı Tanım Kümelerine Göre Tersi

• h:[3,∞) → [0,∞) için
  h⁻¹(x)=√x + 3
• h:(-∞,3] → [0,∞) için
  h⁻¹(x)= -√x + 3

k(x) = (x + 2)² + 1

Kısa Cevap: Verilen x değerleri için y değerleri: 2, 5, 10, 17 olur.

• x=-1 ise → (-1+2)²+1=2
• x=0 ise → (0+2)²+1=5
• x=1 ise → (1+2)²+1=10
• x=2 ise → (2+2)²+1=17

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=2 için y={-3,-1}
• x=5 için y={-4,0}
• x=10 için y={-5,1}
• x=17 için y={-6,2}

Bu nedenle tüm reel sayılarda tersi fonksiyon değildir.

Farklı Tanım Kümelerine Göre Tersi

• k:[-2,∞) → [1,∞) için
  k⁻¹(x)=√(x-1) - 2
• k:(-∞,-2] → [1,∞) için
  k⁻¹(x)= -√(x-1) - 2

m(x) = 4(x - 1)² + 2

Kısa Cevap: Verilen x değerleri için y değerleri: 18, 6, 2, 6 olur.

• x=-1 ise → 4(-2)²+2=18
• x=0 ise → 4(-1)²+2=6
• x=1 ise → 4(0)²+2=2
• x=2 ise → 4(1)²+2=6

Yer değiştirilmiş durumda:

• x=18 için y={-1,3}
• x=6 için y={0,2}
• x=2 için y=1

Bu yüzden tüm reel sayılarda tersi fonksiyon değildir.

Farklı Tanım Kümelerine Göre Tersi

Verilen fonksiyon: y=4(x-1)²+2

Yer değiştirince:
x=4(y-1)²+2
x-2=4(y-1)²
(x-2)/4=(y-1)²
y-1=±√(x-2)/2
y=±√(x-2)/2 + 1

Buna göre:

• m:[1,∞) → [2,∞) için
  m⁻¹(x)= √(x-2)/2 + 1
• m:(-∞,1] → [2,∞) için
  m⁻¹(x)= -√(x-2)/2 + 1

Genelleme

Soru: Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak karesel referans fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği ile ilgili genellemeler yapınız.

Kısa Cevap: Karesel fonksiyonların tersinin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi sınırlandırılmalıdır.
Fonksiyon yalnızca bir kol üzerinde alınırsa tersi fonksiyon olur.

Detaylı Cevap: Karesel fonksiyonlar genel olarak tüm reel sayılarda bire bir değildir. Bu yüzden tersleri doğrudan fonksiyon olmaz. Ancak:

• tepe noktasının sağ tarafı alınırsa,
• ya da tepe noktasının sol tarafı alınırsa,

fonksiyon bire bir olur. Böylece ters fonksiyon da elde edilir. Yani karesel fonksiyonların terslerinin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi uygun şekilde daraltılmalıdır.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların terslerinin neden her zaman fonksiyon olmadığı ve hangi durumda fonksiyon hâline geldiği gösterilmektedir. En önemli nokta, parabolün tamamı yerine yalnızca bir kolunun alınmasıdır. Böylece fonksiyon bire bir olur ve ters fonksiyon yazılabilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 275 Cevapları MEB Yayınları

14. Uygulama: Karesel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 4: Aşağıdaki tabloda cebirsel temsili verilen fonksiyonların ters fonksiyonunun cebirsel temsilini, bu fonksiyonların tersinin fonksiyon olmasını sağlayan tanım ve görüntü kümelerini yazınız. Fonksiyonun ve tersinin grafiğini çiziniz. Tabloyu örnekteki gibi uygun şekilde doldurunuz. Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak genellemelerinizi ve varsayımlarınızı karşılaştırınız. Karşılaştırmanızı tablonun altındaki alana yazınız.

h(x) = (x - 3)2

Ters fonksiyonun cebirsel temsili

Kısa Cevap: Tanım kümesi sınırlandırılırsa iki farklı ters ifade yazılabilir:
h⁻¹(x) = √x + 3 veya h⁻¹(x) = -√x + 3

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

y = (x - 3)2

Değişkenleri yer değiştirelim: x = (y - 3)2

Karekök alalım: y - 3 = ±√x

Buradan: y = √x + 3
veya
y = -√x + 3

elde edilir. Hangi ifadenin kullanılacağı, fonksiyonun seçilen tanım kümesine bağlıdır.

Tersinin fonksiyon olmasını sağlayan tanım ve görüntü kümeleri

1. Durum:
h : [3, ∞) → [0, ∞)
Bu durumda:
h⁻¹(x) = √x + 3

2. Durum:
h : (-∞, 3] → [0, ∞)
Bu durumda:
h⁻¹(x) = -√x + 3

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Parabolün yalnızca bir kolu alınırsa ters fonksiyon elde edilir. Sağ kol seçilirse ters grafik y = √x + 3, sol kol seçilirse ters grafik y = -√x + 3 olur. Bu grafiklerin her biri, seçilen parabol kolunun y = x doğrusuna göre simetriğidir.

k(x) = (x + 2)2 + 1

Ters fonksiyonun cebirsel temsili

Kısa Cevap: Tanım kümesine göre iki farklı ters yazılabilir:
k⁻¹(x) = √(x - 1) - 2 veya k⁻¹(x) = -√(x - 1) - 2
Verilen fonksiyon:

y = (x + 2)2 + 1

Değişkenleri yer değiştirelim: x = (y + 2)2 + 1

Düzenleyelim: x - 1 = (y + 2)2

Karekök alalım: y + 2 = ±√(x - 1)

Buradan: y = √(x - 1) - 2
veya
y = -√(x - 1) - 2

elde edilir.

Tersinin fonksiyon olmasını sağlayan tanım ve görüntü kümeleri

1. Durum:
k : [-2, ∞) → [1, ∞)
Bu durumda:
k⁻¹(x) = √(x - 1) - 2

2. Durum:
k : (-∞, -2] → [1, ∞)
Bu durumda:
k⁻¹(x) = -√(x - 1) - 2

Grafik yorumu

Kısa Cevap: Fonksiyon ile tersi yine y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Bu parabolün tepe noktası (-2, 1)’dir. Parabolün tamamı alınırsa ters ilişki fonksiyon olmaz. Ancak yalnızca sağ kol ya da yalnızca sol kol alınırsa ters fonksiyon elde edilir. Bu ters grafikler, seçilen kolun y = x doğrusuna göre yansımasıdır.

Soru 4 Altındaki Karşılaştırma

Kısa Cevap: Karesel fonksiyonların tersinin fonksiyon olabilmesi için parabolün bir kolu ile sınırlandırılması gerekir.

Detaylı Cevap: Doldurulan tablo ile önceki varsayımlar karşılaştırıldığında şu sonuç görülür:

• Karesel fonksiyonlar genel durumda bire bir değildir.
• Bu yüzden tersleri doğrudan fonksiyon olmaz.
• Tersin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi, parabolün yalnızca bir kolunu kapsayacak şekilde sınırlandırılmalıdır.
• Bu durumda elde edilen ters fonksiyon, seçilen kolun y = x doğrusuna göre simetriği olur.

Soru 5: Karesel referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerinin birer fonksiyon olmasına ilişkin şartlara ait önermenizi matematiksel olarak doğrulanacak şekilde sununuz.

Kısa Cevap: Tanım kümesi parabolün bir kolu ile sınırlandırılmalıdır.
Yani fonksiyon bire bir hâle getirilmelidir.

Karesel fonksiyonlar genel olarak:

f(x) = a(x - r)2 + k

şeklindedir.

Bu tür fonksiyonların terslerinin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi, tepe noktasına göre iki taraftan yalnızca biri seçilerek sınırlandırılmalıdır. Yani:

• [r, ∞)
  veya
• (-∞, r]

şeklinde alınmalıdır.

Böylece fonksiyon bire bir olur ve tersi de fonksiyon olarak yazılabilir. Aksi durumda aynı y değerine birden fazla x değeri karşılık gelir ve ters ilişki fonksiyon olmaz.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların terslerinin fonksiyon olabilmesi için en temel şartın, parabolün tek kolunun seçilmesi olduğu gösterilmektedir. Yani sadece formülü değiştirmek yetmez; aynı zamanda tanım kümesini uygun biçimde sınırlandırmak gerekir. Böylece hem cebirsel temsil doğru olur hem de grafiksel olarak ters fonksiyon açık biçimde elde edilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 276 Cevapları MEB Yayınları

14. Uygulama: Karesel Referans Fonksiyonunun ve Bu Fonksiyondan Türetilen Fonksiyonların Ters Fonksiyonlarının Bulunması

Soru 6: Matematik yazılımları kullanılarak verilen tabloda eksik yerleri doldurunuz ve grafikleri yorumlayınız.

Soru: h(x) = 9x² için ters fonksiyonu yazınız.

Kısa Cevap: Verilen tanım kümesi h: (-∞, 0] → [0, ∞) olduğuna göre ters fonksiyon
h⁻¹(x) = -√x / 3 olur.

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

y = 9x²

Tersini bulmak için x ile y yer değiştirelim:

x = 9y²

Buradan:

y² = x / 9
y = ±√(x / 9)
y = ±√x / 3

Ancak soruda tanım kümesi (-∞, 0] olarak verildiği için fonksiyonun yalnızca sol kolu alınmıştır. Sol kolda bütün y değerleri 0 veya negatif olacağı için:

h⁻¹(x) = -√x / 3

olur.

Soru: h(x) = 9x² fonksiyonunun grafiği nasıl yorumlanır?

Kısa Cevap: Fonksiyonun seçilen kolu ile tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: h(x)=9x² parabolünün yalnızca sol kolu alınmıştır. Bu nedenle grafik, yukarı doğru açılan parabolün sol tarafını gösterir. Tersi olan
h⁻¹(x) = -√x / 3 ise karekök grafiğinin aşağı doğru olan kolu gibi görünür. Bu iki grafik, y = x doğrusuna göre simetrik olur.

Soru: k(x) = (x - 4)² için ters fonksiyonu yazınız.

Kısa Cevap: Verilen tanım kümesi k: [4, ∞) → [0, ∞) olduğuna göre ters fonksiyon
k⁻¹(x) = √x + 4 olur.

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

y = (x - 4)²

x ile y yer değiştirelim:

x = (y - 4)²

Karekök alalım:

y - 4 = ±√x

Buradan:

y = ±√x + 4

elde edilir. Fakat soruda tanım kümesi [4, ∞) olduğu için parabolün sağ kolu alınmıştır. Bu nedenle ters fonksiyonda pozitif kök kullanılır:

k⁻¹(x) = √x + 4

Soru: k(x) = (x - 4)² fonksiyonunun grafiği nasıl yorumlanır?

Kısa Cevap: Fonksiyonun grafiği ile tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Bu fonksiyonun tepe noktası (4, 0) noktasındadır. Parabolün yalnızca sağ kolu alındığında fonksiyon bire bir olur. Ters fonksiyon olan k⁻¹(x)=√x+4 grafiği de bu sağ kolun y=x doğrusuna göre yansımasıdır.

Soru: Karesel referans fonksiyonunun ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği ile bu fonksiyonların tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi belirtiniz.

Kısa Cevap: Fonksiyonların grafikleri ile terslerinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersini alırken koordinat düzlemindeki her (a, b) noktası (b, a) noktasına dönüşür. Bu durum grafik üzerinde bir yansıma oluşturur. Karesel fonksiyonlarda da tanım kümesi bir kol ile sınırlandırıldığında elde edilen ters fonksiyonun grafiği, seçilen kolun y = x doğrusuna göre simetriğidir.

Açıklama: Bu sayfada karesel fonksiyonların terslerinin grafiksel olarak nasıl yorumlandığı açıkça görülmektedir. Parabolün yalnızca bir kolu seçildiğinde, fonksiyon bire bir hâle gelir ve ters fonksiyon yazılabilir. Böylece hem cebirsel olarak ters bulunur hem de grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olduğu net biçimde anlaşılır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 277 Cevapları MEB Yayınları

14. Uygulama Devam

Soru 7: Karesel referans fonksiyonunun ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait önermelerinizi fonksiyonların tanım-değer kümesi, artan-azalanlık, maksimum-minimum noktaları, simetri özellikleri bağlamında değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Tanım ve değer kümeleri yer değiştirir.
Artan fonksiyonun tersi artan, azalan fonksiyonun tersi de azalandır.
Karesel fonksiyonlarda maksimum-minimum noktası vardır ancak tersinde yoktur.
Fonksiyon ve tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.

1. Tanım ve Değer Kümesi

• Bir fonksiyonun tanım kümesi, ters fonksiyonun değer kümesi olur.
• Bir fonksiyonun değer kümesi, ters fonksiyonun tanım kümesi olur.

f: A → B ise, f⁻¹: B → A olur.

2. Artan – Azalan Özelliği

• Eğer fonksiyon artan ise ters fonksiyon da artan olur.
• Eğer fonksiyon azalan ise ters fonksiyon da azalan olur.

Bu özellik, fonksiyonun sıralama ilişkisini korumasından kaynaklanır.

3. Maksimum – Minimum Noktaları

• Karesel fonksiyonlarda tepe noktası (minimum veya maksimum) vardır.
• Ancak ters fonksiyonlarda (karekök türü fonksiyonlarda) tepe noktası bulunmaz.

Çünkü ters fonksiyonlar genellikle tek yönlü (artan/azalan) olur.

4. Simetri Özelliği

Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği
y = x doğrusuna göre simetriktir.

Her (a, b) noktası ters fonksiyonda (b, a) olur.

5. En Önemli Genelleme

• Karesel fonksiyonların tersinin fonksiyon olabilmesi için
  tanım kümesi sınırlandırılmalıdır.
• Yani parabolün tek kolu alınmalıdır.

Açıklama: Bu soruda karesel fonksiyonların tersleri yalnızca işlem olarak değil, özellikleriyle birlikte değerlendirilmektedir. En önemli sonuç, ters fonksiyonların elde edilebilmesi için fonksiyonun bire bir olması gerektiğidir. Ayrıca grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olması, ters fonksiyon konusunun temelini oluşturur. Karesel fonksiyonlarda ise bu durum ancak tanım kümesi daraltıldığında sağlanır.