10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 264 Cevapları MEB Yayınları
12. Uygulama: Doğrusal Referans Fonksiyonunun ve Ters Fonksiyonunun Bulunması
Soru 1: Tablo 1’deki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
Kısa Cevap: Verilen fonksiyon f(x) = 2x + 4 olduğuna göre x yerine verilen sayılar yazılır ve y değerleri bulunur.
Buna göre tablo değerleri 2, 4, 6, 8 olur.
Detaylı Cevap: Fonksiyonumuz f(x)=2x+4 olduğundan verilen x değerlerini tek tek yerine yazalım:
- x = -1 ise
f(-1) = 2.(-1) + 4 = -2 + 4 = 2 - x = 0 ise
f(0) = 2.0 + 4 = 4 - x = 1 ise
f(1) = 2.1 + 4 = 2 + 4 = 6 - x = 2 ise
f(2) = 2.2 + 4 = 4 + 4 = 8
Tablo 1:
- Bağımsız Değişken (x): -1, 0, 1, 2
- Bağımlı Değişken (y): 2, 4, 6, 8
Soru 2: f fonksiyonunun grafiğini koordinat sisteminde çiziniz.
Kısa Cevap: Grafik için bulunan noktalar koordinat sistemine yerleştirilir.
Bu noktalar birleşince artan bir doğru elde edilir.
Detaylı Cevap: Tablo 1’de elde ettiğimiz sıralı ikililer şunlardır:
- (-1, 2)
- (0, 4)
- (1, 6)
- (2, 8)
Bu noktalar koordinat sisteminde işaretlenir ve birleştirilir. Böylece y = 2x + 4 doğrusunun grafiği çizilmiş olur. Doğru, soldan sağa doğru yükseldiği için artan doğrusal fonksiyon grafiğidir.
Soru 3: Tablo 1’deki bağımlı ve bağımsız değişkenlerin yer değiştirmesi ile oluşturulan Tablo 2’yi doldurunuz.
Kısa Cevap: Ters fonksiyon bulunurken x ve y yer değiştirir.
Bu nedenle yeni x değerleri 2, 4, 6, 8, yeni y değerleri ise -1, 0, 1, 2 olur.
Detaylı Cevap: Tablo 1’de:
- x değerleri: -1, 0, 1, 2
- y değerleri: 2, 4, 6, 8
Ters fonksiyonda bu değerler yer değiştirir. Buna göre Tablo 2 şöyle olur:
- Bağımsız Değişken (x): 2, 4, 6, 8
- Bağımlı Değişken (y): -1, 0, 1, 2
Soru 4: Tablo 2’deki noktalardan oluşan grafiği çiziniz.
Kısa Cevap: Tablo 2’den elde edilen noktalar işaretlenir ve birleştirilir.
Yeni grafik de bir doğru grafiğidir.
Detaylı Cevap: Tablo 2’ye göre sıralı ikililer şunlardır:
- (2, -1)
- (4, 0)
- (6, 1)
- (8, 2)
Bu noktalar koordinat sisteminde gösterilip birleştirilince ters fonksiyonun grafiği oluşur. Bu grafik de doğrusal bir grafiktir.
Soru 5: Oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsilini yazınız.
Kısa Cevap: Verilen fonksiyon y = 2x + 4 idi.
Ters fonksiyonu f⁻¹(x) = (x - 4) / 2 olur.
Detaylı Cevap: Başlangıçta verilen fonksiyon:
y = 2x + 4
Ters fonksiyonu bulmak için x ile y yer değiştirilir:
x = 2y + 4
Şimdi y yalnız bırakılır:
x - 4 = 2y
y = (x - 4) / 2
Buna göre yeni fonksiyonun cebirsel temsili:
f⁻¹(x) = (x - 4) / 2
Özgün Açıklama: Bu sayfada doğrusal bir fonksiyonun önce tablo yardımıyla incelenmesi, sonra grafiğinin çizilmesi ve son olarak ters fonksiyonunun bulunması gösterilmektedir. Ters fonksiyon bulmanın en önemli kuralı, x ve y değişkenlerinin yer değiştirmesidir. Böylece yeni fonksiyonun hem tablo hem grafik hem de cebirsel gösterimi kolayca elde edilir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 265 Cevapları MEB Yayınları
12. Uygulama Cevapları
Soru a) Oluşan yeni fonksiyonun doğrusal fonksiyon olup olmadığını belirleyerek görüşünüzü yazınız.
Kısa Cevap: Oluşan yeni fonksiyon doğrusal fonksiyondur.
Çünkü grafiği bir doğru belirtir ve değişim hızı sabittir.
Detaylı Cevap: Yeni oluşan fonksiyonun grafiği incelendiğinde noktaların aynı doğru üzerinde olduğu görülür. Ayrıca x değerlerindeki eşit artışlara karşılık y değerlerinde de düzenli ve sabit bir değişim vardır. Bu nedenle oluşan yeni fonksiyonun doğrusal fonksiyon olduğu söylenir.
Soru b) Verilen doğrusal fonksiyon ile oluşan yeni fonksiyonun birbiri ile ilişkisine dair varsayımlarda bulununuz.
Kısa Cevap: Tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir.
Grafikleri de y = x doğrusuna göre simetriktir.
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon ile oluşan yeni fonksiyon arasında terslik ilişkisi vardır. Bir fonksiyonun tersinde, eski fonksiyonun tanım kümesi yeni fonksiyonun görüntü kümesi olur. Aynı şekilde eski fonksiyonun görüntü kümesi de yeni fonksiyonun tanım kümesini oluşturur. Ayrıca bu iki fonksiyonun grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik olur.
2. Aşağıdaki tabloyu örnekteki gibi doldurunuz
f(x) = x
Kısa Cevap: Bu fonksiyonda x ile y eşittir.
Tersi de yine f⁻¹(x) = x olur.
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Yer değiştirilmiş hâli:
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsili: f⁻¹(x) = x
g(x) = 4x
Kısa Cevap: x değerleri 4 ile çarpılır.
Tersi g⁻¹(x) = x / 4 olur.
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -1 | -4 |
| 0 | 0 |
| 1 | 4 |
| 2 | 8 |
Yer değiştirilmiş hâli:
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -4 | -1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 1 |
| 8 | 2 |
Oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsili:
g⁻¹(x) = x / 4
h(x) = x - 2
Kısa Cevap: Bu fonksiyonda x’ten 2 çıkarılır.
Tersi h⁻¹(x) = x + 2 olur.
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -1 | -3 |
| 0 | -2 |
| 1 | -1 |
| 2 | 0 |
Yer değiştirilmiş hâli:
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -3 | -1 |
| -2 | 0 |
| -1 | 1 |
| 0 | 2 |
Oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsili: h⁻¹(x) = x + 2
k(x) = 3x + 1
Kısa Cevap: Bu fonksiyonda x önce 3 ile çarpılır, sonra 1 eklenir.
Tersi k⁻¹(x) = (x - 1) / 3 olur.
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -1 | -2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
Yer değiştirilmiş hâli:
| Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) |
|---|---|
| -2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 4 | 1 |
| 7 | 2 |
Oluşan yeni fonksiyonun cebirsel temsili: k⁻¹(x) = (x - 1) / 3
Soru b) Doldurduğunuz tabloyu dikkate alarak doğrusal fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği hakkında genellemelerinizi oluşturunuz.
Kısa Cevap: Bir doğrusal fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için bire bir ve örten olması gerekir.
Yani tanım kümesi ile görüntü kümesi arasında tam eşleşme bulunmalıdır.
Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için her görüntü değerine yalnızca bir tanım değeri karşılık gelmelidir. Bu da fonksiyonun bire bir olmasını gerektirir. Ayrıca tanım kümesindeki elemanlar görüntü kümesini tam olarak karşılamalıdır; yani fonksiyon örten olmalıdır. Kısaca:
- f : A → B ise
- f⁻¹ : B → A olmalıdır.
- Bunun için f’nin bire bir ve örten olması gerekir.
Özgün Açıklama: Bu sayfada doğrusal fonksiyonların tersleri incelenirken en önemli nokta, x ve y değerlerinin yer değiştirmesidir. Tablo dolduruldukça hem ters fonksiyonun nasıl oluştuğu hem de hangi durumlarda tersinin yine bir fonksiyon olduğu daha açık anlaşılır. Özellikle grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olması, konunun temel mantığını gösterir.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 266 Cevapları MEB Yayınları
12. Uygulama Cevapları Devam
3. Aşağıdaki tabloda cebirsel temsili verilen fonksiyonların grafiğini, tersinin cebirsel temsilini ve tersinin grafiğini doldurunuz.
g(x) = 4x
Fonksiyonun grafiği
Kısa Cevap: Bu fonksiyonun grafiği orijinden geçen, eğimi 4 olan bir doğrudur.
Örnek noktalar: (-1, -4), (0, 0), (1, 4)
Detaylı Cevap: g(x) = 4x doğrusal bir fonksiyondur. x yerine bazı değerler yazalım:
- x = -1 ise y = -4
- x = 0 ise y = 0
- x = 1 ise y = 4
Bu noktalar koordinat sisteminde işaretlenip birleştirilince grafik elde edilir.
Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili
Kısa Cevap: g⁻¹(x) = x / 4
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: y = 4x
x ve y yer değiştirir: x = 4y
y yalnız bırakılır: y = x / 4
Bu nedenle: g⁻¹(x) = x / 4
Ters fonksiyonun grafiği
Kısa Cevap: Ters fonksiyonun grafiği orijinden geçen, eğimi 1/4 olan doğrudur.
Örnek noktalar: (-4, -1), (0, 0), (4, 1)
Detaylı Cevap: g⁻¹(x) = x / 4 fonksiyonunda x yerine uygun değerler yazılır:
- x = -4 ise y = -1
- x = 0 ise y = 0
- x = 4 ise y = 1
Bu noktalar grafiğe yerleştirilir. Ana fonksiyonla tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
h(x) = x - 2
Fonksiyonun grafiği
Kısa Cevap: Bu fonksiyonun grafiği eğimi 1 olan, y eksenini -2’de kesen doğrudur.
Örnek noktalar: (-2, -4), (0, -2), (2, 0), (4, 2)
Detaylı Cevap: h(x) = x - 2 fonksiyonunda bazı x değerleri için y değerleri:
- x = -2 ise y = -4
- x = 0 ise y = -2
- x = 2 ise y = 0
- x = 4 ise y = 2
Bu noktalar birleştirilince grafik çizilir.
Fonksiyonun tersinin cebirsel temsili
Kısa Cevap: h⁻¹(x) = x + 2
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: y = x - 2
x ve y yer değiştirir: x = y - 2
y yalnız bırakılır: y = x + 2
Bu nedenle: h⁻¹(x) = x + 2
Ters fonksiyonun grafiği
Kısa Cevap: Ters fonksiyonun grafiği eğimi 1 olan, y eksenini 2’de kesen doğrudur.
Örnek noktalar: (-4, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, 4)
Detaylı Cevap: h⁻¹(x) = x + 2 için bazı noktalar:
- x = -4 ise y = -2
- x = -2 ise y = 0
- x = 0 ise y = 2
- x = 2 ise y = 4
Bu noktalar grafikte gösterilir. Bu grafik de ana grafikle y = x doğrusuna göre simetrik olur.
4. Doldurduğunuz tabloya göre genellemeleriniz ile varsayımlarınızı karşılaştırınız.
Kısa Cevap: Tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir.
Ayrıca grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir.
Detaylı Cevap: Tablodaki örnekler incelendiğinde bir fonksiyonun tersi alınırken bağımsız ve bağımlı değişkenlerin yer değiştirdiği görülür. Bu da tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesi anlamına gelir. Grafiklerde ise her nokta yer değiştirerek yeni bir nokta oluşturur. Bu nedenle ana fonksiyon ile ters fonksiyonun grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
5. Doğrusal fonksiyon ile bu fonksiyonun ters fonksiyonu arasındaki ilişkiye ait önermenizi matematiksel olarak doğrulayacak şekilde sununuz.
Kısa Cevap: f(x) = ax + b, a ≠ 0 ise ters fonksiyonu vardır.
Bu durumda f⁻¹(x) = (x - b) / a olur.
Detaylı Cevap: Bir doğrusal fonksiyon genel olarak:
f(x) = ax + b ve a ≠ 0
şeklindedir. Önce:
y = ax + b
yazılır. Sonra x ve y yer değiştirilir:
x = ay + b
Daha sonra y yalnız bırakılır:
x - b = ay
y = (x - b) / a
Buna göre ters fonksiyon:
f⁻¹(x) = (x - b) / a
olur. Bu sonuç, doğrusal fonksiyonların terslerinin de yine doğrusal olduğunu gösterir.
Özgün Açıklama: Bu sayfada doğrusal fonksiyonların grafikleri ile ters fonksiyonlarının grafikleri birlikte incelenmektedir. En önemli sonuç, bir fonksiyonun tersinde x ile y’nin yer değiştirmesi ve grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olmasıdır. Ayrıca f(x)=ax+b biçimindeki doğrusal fonksiyonlarda a sıfırdan farklıysa ters fonksiyon kolayca bulunur.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 267 Cevapları MEB Yayınları
12. Uygulama Cevapları Devam
Soru 6: Tablodaki eksik yerleri doldurunuz.
h(x) = 3x
Kısa Cevap: Bu fonksiyonun tersi h⁻¹(x) = x / 3 olur.
Fonksiyon ve tersi y = x doğrusuna göre simetriktir.
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: h(x) = 3x
Tersini bulalım:
y = 3x
x = 3y
y = x / 3
Bu nedenle:
h⁻¹(x) = x / 3
Grafik için örnek noktalar:
- h(x)=3x için: (-1,-3), (0,0), (1,3)
- h⁻¹(x)=x/3 için: (-3,-1), (0,0), (3,1)
Bu iki grafik y = x doğrusuna göre simetriktir.
k(x) = 2x + 1
Kısa Cevap: Bu fonksiyonun tersi k⁻¹(x) = (x - 1) / 2 olur.
Grafikler yine y = x doğrusuna göre simetriktir.
Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon: k(x) = 2x + 1
Tersini bulalım:
y = 2x + 1
x = 2y + 1
x - 1 = 2y
y = (x - 1) / 2
Bu nedenle:
k⁻¹(x) = (x - 1) / 2
Grafik için örnek noktalar:
- k(x)=2x+1 için: (-1,-1), (0,1), (1,3)
- k⁻¹(x)=(x-1)/2 için: (-1,-1), (1,0), (3,1)
Bu noktalar işaretlenip birleştirildiğinde iki doğrunun y = x doğrusu boyunca simetrik olduğu görülür.
Soru 7: Doğrusal fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği ile doğrusal fonksiyonun tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi belirtiniz.
Kısa Cevap: Bir doğrusal fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, y = x doğrusuna göre simetriktir.
Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersini alırken x ve y yer değiştirir. Bu nedenle grafikteki her (a, b) noktası, ters fonksiyonda (b, a) noktasına dönüşür. Bu durum da iki grafiğin y = x doğrusuna göre simetrik olmasını sağlar. Yani doğrusal fonksiyonun y = x doğrusuna göre yansıması, onun ters fonksiyonunun grafiğini verir.
Soru 8: Doğrusal fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait önermelerinizi fonksiyonların tanım-değer kümesi ve simetri özelliği bağlamında değerlendiriniz.
Kısa Cevap: f: A → B ise, ters fonksiyon f⁻¹: B → A olur.
Tanım ve değer kümeleri yer değiştirir, grafikler de y = x doğrusuna göre simetrik olur.
Detaylı Cevap: Bir fonksiyonun tersi alındığında:
- Tanım kümesi, ters fonksiyonun değer kümesi olur.
- Değer kümesi, ters fonksiyonun tanım kümesi olur.
Yani:
f: A → B ise
f⁻¹: B → A olur.
Ayrıca bu değişim grafik üzerinde de görülür. Fonksiyon ve tersi arasındaki ilişki nedeniyle her nokta yer değiştirir ve grafikler y = x doğrusuna göre simetrik hâle gelir. Bu, ters fonksiyonun en temel özelliğidir.
Özgün Açıklama: Bu sayfada doğrusal fonksiyonların tersleri hem cebirsel hem de grafiksel olarak karşılaştırılmaktadır. En önemli sonuç, ters fonksiyon bulunurken tanım ve değer kümelerinin yer değiştirmesi ve grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olmasıdır. Böylece doğrusal fonksiyon ile tersi arasındaki bağ açık şekilde anlaşılır.