10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 248-257 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 248 Cevapları (MEB Yayınları)

11. Uygulama – Rasyonel Fonksiyon Dönüşümleri

1. Etkinlik Cevapları

a) Kısa Cevap: g(x)=1/x referans fonksiyonudur.

Detaylı Cevap: Verilen sürgü değerleri a=1, r=0, k=0 olduğunda fonksiyon
g(x)=1/x olur. Bu, rasyonel referans fonksiyonudur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 249 Cevapları (MEB Yayınları)

a) Tablo 1 Cevapları (r=0, k=0)

• h(x): a = -1 → h(x) = -1/x
  İşlem: -1 ile çarpma
  Dönüşüm: x eksenine göre yansıma
• m(x): a = 2 → m(x) = 2/x
  İşlem: 2 ile çarpma
  Dönüşüm: 2 kat dikey daralma
• n(x): a = 4 → n(x) = 4/x
  İşlem: 4 ile çarpma
  Dönüşüm: 4 kat dikey daralma
• s(x): a = -3 → s(x) = -3/x
  İşlem: -3 ile çarpma
  Dönüşüm: x eksenine göre yansıma + 3 kat dikey daralma

b) Tablo 2 Cevapları (k=0)

• h(x): a=1, r=2 → h(x)=1/(x+2)
  İşlem: x yerine x+2 yazma
  Dönüşüm: 2 birim sola öteleme
• m(x): a=1, r=-1 → m(x)=1/(x-1)
  Dönüşüm: 1 birim sağa öteleme
• n(x): a=4, r=3 → n(x)=4/(x+3)
  Dönüşüm: 3 birim sola öteleme + dikey daralma
• s(x): a=-2, r=-2 → s(x)=-2/(x-2)
  Dönüşüm: sağa öteleme + yansıma

c) Tablo 3 Cevapları (r=0)

• h(x): a=1, k=2 → h(x)=1/x + 2
  Dönüşüm: 2 birim yukarı
• m(x): a=1, k=-1 → m(x)=1/x -1
  Dönüşüm: 1 birim aşağı
• n(x): a=4, k=3 → n(x)=4/x +3
  Dönüşüm: yukarı öteleme + dikey daralma
• s(x): a=-2, k=-2 → s(x)=-2/x -2
  Dönüşüm: aşağı öteleme + yansıma

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 250 Cevapları (MEB Yayınları)

11. Uygulama – Devamı

1. c) Tablo 4 Cevapları

Kısa Cevap: Fonksiyonlar, 1/x referans fonksiyonunun öteleme ve katsayı değişimleriyle elde edilir.

• h(x): a=1, r=2, k=3
  h(x) = 1/(x+2) + 3
  İşlem: x yerine x+2 yazma, +3 ekleme
  Dönüşüm: 2 birim sola, 3 birim yukarı

• m(x): a=1, r=-2, k=-1
  m(x) = 1/(x-2) -1
  İşlem: x yerine x-2 yazma, -1 ekleme
  Dönüşüm: 2 birim sağa, 1 birim aşağı

• n(x): a=1, r=3, k=-2
  n(x) = 1/(x+3) -2
  İşlem: x yerine x+3 yazma, -2 ekleme
  Dönüşüm: 3 birim sola, 2 birim aşağı

• s(x): a=-2, r=-4, k=3
  s(x) = -2/(x-4) +3
  İşlem: -2 ile çarpma, x-4 yazma, +3 ekleme
  Dönüşüm: x eksenine göre yansıma + sağa 4 birim + yukarı 3 birim

2. Tablo Cevapları

Kısa Cevap: Grafik dönüşümleri, fonksiyonun öteleme ve çarpma kurallarıyla elde edilir.

• 4 kat dikey daralma:
  g(x) = 4 · (1/x)

• x ekseninde 3 birim sola, y ekseninde 2 birim yukarı:
  g(x) = 1/(x+3) + 2

Önemli Not:

• x + a → sola kayma
• x - a → sağa kayma
• +k → yukarı kayma
• -k → aşağı kayma

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 251 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 2: Verilen dönüşümlere göre cebirsel temsilleri yazınız.

Kısa Cevap: Birinci dönüşüm için fonksiyon m(x) = -1/x + 3, ikinci dönüşüm için fonksiyon n(x) = -2/(x-2) + 1 olur.

1. Dönüşüm

Uygulanan dönüşüm: x eksenine göre yansıma, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme

Bu durumda:

• x eksenine göre yansıma → fonksiyonun başına eksi gelir.
• y ekseninde 3 birim yukarı öteleme → fonksiyonun dışına +3 eklenir.

Bu yüzden cebirsel temsil: m(x) = -1/x + 3

2. Dönüşüm

Uygulanan dönüşüm: 2 kat dikey daralma, x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme

Bu durumda:

• 2 kat dikey daralma → fonksiyon 2 ile çarpılır
• x eksenine göre yansıma → başına eksi gelir
• sağa 2 birim öteleme → x yerine x-2 yazılır
• yukarı 1 birim öteleme → dışarıya +1 eklenir

Bu yüzden cebirsel temsil: n(x) = -2/(x-2) + 1

Soru 3: g(x)=a·1/(x+r)+k fonksiyonunun nitel özelliklerini yazınız.

(a,r,k ∈ R, a ≠ 0, r>0, k>0)

Kısa Cevap: Tanım kümesi her iki durumda da R-{−r}, görüntü kümesi ise R-{k} olur. a>0 iken fonksiyon azalan, a<0 iken artandır.

Verilen fonksiyon:

g(x) = a / (x+r) + k

Burada:

• payda 0 olamaz
• yatay asimptot y=k
• düşey asimptot x=-r olur

a > 0 durumu

Tanım Kümesi

Payda sıfır olamaz:

x+r ≠ 0
x ≠ -r

Bu nedenle:

Tanım kümesi = R - {-r}

Görüntü Kümesi

a/(x+r) ifadesi hiçbir zaman 0 olamaz.
Bu yüzden fonksiyon da hiçbir zaman k değerini alamaz:

Görüntü kümesi = R - {k}

İşareti

İşaret, a/(x+r)+k ifadesine göre değişir.
Sıfır olduğu değer:

a/(x+r)+k = 0
a/(x+r) = -k
x+r = -a/k
x = -r - a/k

Buna göre işaret aralıklara göre değişir.

Artanlık-Azalanlık

1/x fonksiyonu aralıklarında azalandır.
a>0 olduğunda yön değişmez. Bu nedenle:

• (-∞,-r) aralığında azalan
• (-r,∞) aralığında azalan

olur.

a < 0 durumu

Tanım Kümesi

Yine:

Tanım kümesi = R - {-r}

Görüntü Kümesi

Yine fonksiyon k değerini alamaz:

Görüntü kümesi = R - {k}

İşareti

İşaret yine sıfır noktası olan

x = -r - a/k

değerine göre değişir.

Artanlık-Azalanlık

a<0 olduğunda grafik x eksenine göre yansır.
Bu yüzden azalanlık artanlığa dönüşür:

• (-∞,-r) aralığında artan
• (-r,∞) aralığında artan

olur.

Özet Tablo

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 252 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 4a: Verilen fonksiyonların tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.

1. Fonksiyon: h(x)=3/x

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{0}, görüntü kümesi de R-{0} olur.

Verilen fonksiyon: h(x)=3/x

Bu fonksiyonda payda 0 olamaz. Bu nedenle:

Tanım kümesi = R-{0}

Ayrıca 3/x ifadesi hiçbir zaman 0 olamaz. Çünkü pay 3’tür ve sıfır değildir. Bu yüzden:

Görüntü kümesi = R-{0}

2. Fonksiyon: m(x)=-2/(x-3)

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{3}, görüntü kümesi R-{0} olur.

Verilen fonksiyon: m(x) = -2 / (x-3)

Payda sıfır olamayacağı için:

x-3 ≠ 0
x ≠ 3

Bu nedenle:

Tanım kümesi = R-{3}

Fonksiyonun değeri hiçbir zaman 0 olamaz. Çünkü pay kısmı -2’dir ve sıfır değildir. Bu yüzden:

Görüntü kümesi = R-{0}

Grafikte de düşey asimptot x=3, yatay asimptot y=0 olarak görülür.

3. Fonksiyon: n(x)=3/(x-2)+1

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{2}, görüntü kümesi R-{1} olur.

Verilen fonksiyon: n(x) = 3 / (x-2) + 1

Payda sıfır olamayacağından:

x-2 ≠ 0
x ≠ 2

Bu nedenle:

Tanım kümesi = R-{2}

Ayrıca 3/(x-2) ifadesi hiçbir zaman 0 olmaz. Dolayısıyla fonksiyon değeri hiçbir zaman sadece dışarıdaki sabit değere, yani 1’e eşit olamaz.

Bu yüzden:

Görüntü kümesi = R-{1}

Grafikte:

• Düşey asimptot: x=2
• Yatay asimptot: y=1

olarak görülür.

Özet Tablo

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 253 Cevapları (MEB Yayınları)

Fonksiyon: m(x) = -2 / (x - 3)

Kısa Cevap: Fonksiyon (-∞, 3) aralığında pozitif, (3, ∞) aralığında negatiftir ve her iki aralıkta da artandır. Maksimum ve minimum değeri yoktur.

İşareti:

• x < 3 için:
  Pay -2 (negatif), payda (x-3) negatif →
  (-) / (-) = (+)
  (-∞, 3) aralığında pozitif
• x > 3 için:
  Pay -2 (negatif), payda pozitif →
  (-) / (+) = (-)
  (3, ∞) aralığında negatif

Artan-Azalan Olduğu Aralıklar:

Fonksiyon rasyonel referans fonksiyonu olan 1/x’in dönüşmüş halidir.

• (-∞, 3) aralığında: artan
• (3, ∞) aralığında: artan

Fonksiyon her iki bölgede de artandır.
Azalan olduğu aralık yoktur.

Maksimum-Minimum Noktaları:

• Fonksiyon asimptotlara yaklaşır ama ulaşamaz.
• Bu nedenle:
  • Maksimum yoktur
  • Minimum yoktur

Özet Tablo:

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 254 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru: n(x)= 3/(x-2) + 1 fonksiyonunun işaretini ve artan-azalan olduğu aralıkları bulunuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon, (-∞,-1) ve (2,∞) aralıklarında pozitif, (-1,2) aralığında negatiftir. Ayrıca (-∞,2) ve (2,∞) aralıklarının her birinde azalandır.

Verilen fonksiyon: n(x)= 3/(x-2) + 1

Önce işaret için sıfırını bulalım:

3/(x-2) + 1 = 0
3/(x-2) = -1
3 = -(x-2)
3 = -x + 2
x = -1

Ayrıca payda sıfır olamayacağı için:

x ≠ 2

Buna göre sayı doğrusunu -1 ve 2 noktalarına göre inceleyelim:

• x < -1 için fonksiyon pozitif
• -1 < x < 2 için fonksiyon negatif
• x > 2 için fonksiyon pozitif

Fonksiyonun azalanlık durumunda ise 1/(x-2) ifadesi kendi tanımlı olduğu her aralıkta azalandır. 3 ile çarpılıp 1 eklenmesi bu özelliği değiştirmez.

Bu nedenle:

• (-∞,2) aralığında azalan
• (2,∞) aralığında azalan
• Artan olduğu bir aralık yoktur

Soru 5a: k(x)= 2/x fonksiyonunun artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını bulunuz.

Kısa Cevap: k(x)=2/x fonksiyonu, (-∞,0) ve (0,∞) aralıklarında azalandır. Maksimum ve minimum değeri yoktur.

Verilen fonksiyon: k(x)=2/x

Bu fonksiyon, 1/x referans fonksiyonunun 2 ile çarpılmış hâlidir. Çarpan değişse de azalanlık özelliği değişmez.

Bu yüzden:

• (-∞,0) aralığında azalan
• (0,∞) aralığında azalan
• Artan olduğu aralık yoktur

Maksimum-minimum incelemesi:

• Fonksiyon x=0 noktasında tanımsızdır.
• x→0+ iken değer +∞
• x→0- iken değer -∞
• x→±∞ iken değer 0’a yaklaşır.

Bu nedenle fonksiyonun:

• Maksimum değeri yoktur
• Minimum değeri yoktur

Soru 5a: r(x)= -3/(x-2) fonksiyonunun artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını bulunuz.

Kısa Cevap: r(x)= -3/(x-2) fonksiyonu, (-∞,2) ve (2,∞) aralıklarında artandır. Maksimum ve minimum değeri yoktur.

Verilen fonksiyon: r(x)= -3/(x-2)

Bu fonksiyon, 1/(x-2) ifadesinin -3 ile çarpılmış hâlidir. Eksi ile çarpıldığı için azalanlık yönü değişir ve fonksiyon artan olur.

Bu nedenle:

• (-∞,2) aralığında artan
• (2,∞) aralığında artan
• Azalan olduğu aralık yoktur

Maksimum-minimum incelemesi:

• x=2 noktasında tanımsızdır.
• x→2- iken fonksiyon +∞
• x→2+ iken fonksiyon -∞
• x→±∞ iken fonksiyon 0’a yaklaşır.

Bu yüzden:

• Maksimum değeri yoktur
• Minimum değeri yoktur

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 255 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru: n(x) = 3/(x-2) + 1 fonksiyonunun artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını bulunuz.

Kısa Cevap: Fonksiyon (-∞,2) ve (2,∞) aralıklarında azalandır. Maksimum ve minimum değeri yoktur.

Verilen fonksiyon: n(x) = 3/(x-2) + 1

Bu fonksiyonda x=2 için payda sıfır olduğu için fonksiyon tanımsızdır. Bu nedenle inceleme aralıkları:

• (-∞,2)
• (2,∞)

şeklindedir.

1/(x-2) ifadesi kendi tanımlı olduğu her aralıkta azalan bir fonksiyondur.
Bu ifade 3 ile çarpılıp 1 kadar yukarı ötelenmiş olsa da azalanlık özelliği değişmez.

Bu yüzden:

• (-∞,2) aralığında azalan
• (2,∞) aralığında azalan

olur.

Fonksiyon, x=2 doğrusu ve y=1 doğrusu etrafında yaklaşım gösterir; yani asimptotları vardır. Bu nedenle hiçbir noktada en büyük ya da en küçük değeri alamaz.

Sonuç olarak:

• Artan olduğu aralık yoktur.
• Maksimum değeri yoktur.
• Minimum değeri yoktur.

Soru: k(x) = 2/x fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{0}, görüntü kümesi R-{0} olur.

Verilen fonksiyon: k(x) = 2/x

Bu fonksiyonda payda 0 olamayacağı için:

x ≠ 0

olmalıdır. Bu nedenle:

Tanım kümesi = R-{0}

Ayrıca 2/x ifadesi hiçbir zaman 0 olamaz. Çünkü pay 2’dir ve sıfır değildir. Bu yüzden:

Görüntü kümesi = R-{0}

Soru: r(x) = -3/(x-2) fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{2}, görüntü kümesi R-{0} olur.

Verilen fonksiyon: r(x) = -3/(x-2)

Payda sıfır olamayacağı için:

x-2 ≠ 0
x ≠ 2

Bu nedenle:

Tanım kümesi = R-{2}

Fonksiyon değeri hiçbir zaman 0 olamaz. Çünkü pay kısmı -3’tür ve sıfır değildir. Bu yüzden:

Görüntü kümesi = R-{0}

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 256 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru: n(x)=3/(x-2)+1 fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.

Kısa Cevap: Tanım kümesi R-{2}, görüntü kümesi R-{1} olur.

Verilen fonksiyon: n(x)=3/(x-2)+1

Bu fonksiyonda payda 0 olamaz.
Bu yüzden:

x-2 ≠ 0
x ≠ 2

Buradan tanım kümesi:

R-{2}

olur.

Görüntü kümesini bulmak için fonksiyonun hangi değeri alamadığına bakılır.
3/(x-2) ifadesi hiçbir zaman 0 olamaz. Bu nedenle fonksiyon:

3/(x-2)+1

ifadesinde hiçbir zaman sadece 1 değerine eşit olamaz.

Bu yüzden görüntü kümesi:

R-{1}

olur.

Grafikten de:

• düşey asimptot: x=2
• yatay asimptot: y=1

olduğu görülür.

Soru 6: Çizdiğiniz grafik ile matematik yazılımından elde ettiğiniz nitel özellikleri karşılaştırınız.

Kısa Cevap: Elle çizilen grafik ile matematik yazılımında elde edilen sonuçlar aynıdır. Fark varsa çizim hassasiyetinden kaynaklanır.

Detaylı Cevap: Çizilen grafik ile matematik yazılımında elde edilen grafik karşılaştırıldığında tanım kümesi, görüntü kümesi, asimptotlar ve artan-azalan özelliklerin aynı olduğu görülür. Eğer küçük farklar varsa bunlar genellikle:

• ölçeklendirme farkı
• elle çizim hatası
• nokta yerleştirme eksikliği

gibi nedenlerden kaynaklanır. Matematik yazılımı daha kesin sonuç verdiği için kontrol amacıyla kullanmak yararlıdır.

Soru 7: g(x)= a / (x+r) + k fonksiyonu için a>0, r>0, k>0 ve a<0, r>0, k>0 durumlarında genelleme yapınız.

Kısa Cevap: Her iki durumda da tanım kümesi R-{−r}, görüntü kümesi R-{k} olur. a>0 ise fonksiyon iki aralıkta da azalan, a<0 ise iki aralıkta da artandır.

1. Durum: a > 0, r > 0, k > 0

• Tanım Kümesi:
  x+r ≠ 0 olmalıdır.
  x ≠ -r
  Bu yüzden: R-{−r}
• Görüntü Kümesi:
  a/(x+r) hiçbir zaman 0 olmaz.
  Bu nedenle fonksiyon da hiçbir zaman k değerini alamaz.
  Görüntü kümesi: R-{k}
• İşareti:
  İşaret, x = -r - a/k noktasına göre değişir.
• Artanlık-Azalanlık:
  (-∞,-r) ve (-r,∞) aralıklarının her birinde azalandır.
• Maksimum-Minimum:
  Maksimum ve minimum yoktur.

2. Durum: a < 0, r > 0, k > 0

• Tanım Kümesi:
  R-{−r}
• Görüntü Kümesi:
  R-{k}
• İşareti:
  Yine x = -r - a/k noktasına göre değişir.
• Artanlık-Azalanlık:
  (-∞,-r) ve (-r,∞) aralıklarının her birinde artandır.
• Maksimum-Minimum:
  Maksimum ve minimum yoktur.

Özet Tablo

a > 0 için

• Tanım kümesi: R-{−r}
• Görüntü kümesi: R-{k}
• İki aralıkta da azalan
• Maksimum-minimum yok

a < 0 için

• Tanım kümesi: R-{−r}
• Görüntü kümesi: R-{k}
• İki aralıkta da artan
• Maksimum-minimum yok

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 257 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 8 - Oluşturduğunuz önerme yardımıyla aşağıda verilen problemi inceleyip soruları çözünüz.

Kısa Cevap: f(v)=500/v fonksiyonu için tanım kümesi (0,∞), görüntü kümesi (0,∞) ve fonksiyon azalandır. Maksimum ve minimum değeri yoktur.

Verilen model: f(v)=500/v

Tanım Kümesi:
Hız negatif olamayacağı için
v > 0 → (0,∞)

Görüntü Kümesi:
Süre de pozitif olur
f(v) > 0 → (0,∞)

Artan-Azalan:
Hız arttıkça süre azalır → Azalan fonksiyon

Maksimum-Minimum:

• v → 0 iken süre → ∞
• v → ∞ iken süre → 0
  Maksimum ve minimum yoktur

Soru 9 - Genellemelerinizden yola çıkarak

Kısa Cevap: g(x)=a/(x+r)+k fonksiyonunda tanım kümesi R-{−r}, görüntü kümesi R-{k} olur. a>0 ise azalan, a<0 ise artandır.

Verilen fonksiyon: g(x)= a/(x+r) + k

Tanım Kümesi:

Payda sıfır olamaz:

x+r ≠ 0 → x ≠ -r
Tanım kümesi: R-{−r}

Görüntü Kümesi:

Fonksiyon hiçbir zaman k değerini alamaz.

Görüntü kümesi: R-{k}

İşareti:

Fonksiyonun işareti:

• (-∞, -r) ve (-r, ∞) aralıklarında değişir
• İşaret değişimi pay ve paydanın işaretine bağlıdır

Artan-Azalan:

• a > 0 → Azalan
• a < 0 → Artan

Maksimum-Minimum:

• Fonksiyon asimptotlara yaklaşır
• Maksimum yok
• Minimum yok

Soru 10 - Yukarıdaki tabloyu doldururken kullandığınız grafik ile doğrulama veya cebirsel ispat yöntemlerinin olumlu veya olumsuz yönlerini sınıf arkadaşlarınız ile tartışınız

Kısa Cevap: g(x)=2/(x+3)-1 fonksiyonu azalandır, maksimum ve minimum değeri yoktur.

Verilen fonksiyon: g(x)= 2/(x+3) - 1

Tanım Kümesi:

x+3 ≠ 0 → x ≠ -3
R-{−3}

Artan-Azalan:

• 2/(x+3) azalan bir fonksiyondur
• Sabit çıkarma (-1) bu durumu değiştirmez

Fonksiyon her iki aralıkta da azalan

Maksimum-Minimum:

Asimptotlar:

• x = -3
• y = -1
• Fonksiyon bu değerlere yaklaşır ama ulaşamaz

Maksimum yok
Minimum yok

Genel Değerlendirme:

• Grafik yöntemi görsel anlamayı kolaylaştırır
• Cebirsel yöntem kesin sonuç verir
• İkisi birlikte kullanıldığında en doğru sonuca ulaşılır