10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 244-247 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 244 Cevapları (MEB Yayınları)

10. Uygulama: Rasyonel Referans Fonksiyonu f(x)=1/x

Soru 1: Tabloda verilen bağımsız değişkenlerin alabileceği değerlere göre tabloyu doldurunuz.

Kısa Cevap: f(x)=1/x olduğuna göre tablo değerleri, her x sayısının çarpmaya göre tersidir.

Detaylı Cevap: Verilen fonksiyon:

f(x)=1/x (x ≠ 0)

Buna göre tablo şöyle doldurulur:

• x=-10 → y=-1/10
• x=-2 → y=-1/2
• x=-1 → y=-1
• x=-1/2 → y=-2
• x=-1/3 → y=-3
• x=-1/10 → y=-10
• x=1/10 → y=10
• x=1/3 → y=3
• x=1/2 → y=2
• x=1 → y=1
• x=2 → y=1/2
• x=10 → y=1/10

Soru 2: Tablodaki değerleri kullanarak f(x)=1/x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Kısa Cevap: Grafik, bir kolu birinci bölgede diğer kolu üçüncü bölgede olan hiperboldür.

Detaylı Cevap: f(x)=1/x fonksiyonunun grafiği çizilirken şu noktalar işaretlenir:

• (1,1)
• (2,1/2)
• (1/2,2)
• (10,1/10)
• (1/10,10)

ve negatif tarafta:

• (-1,-1)
• (-2,-1/2)
• (-1/2,-2)
• (-10,-1/10)
• (-1/10,-10)

Bu noktalar düzgün bir eğriyle birleştirilir. Grafik:

• x=0 doğrusunu kesmez
• y=0 doğrusunu da kesmez
• Bir kolu I. bölgede
• Diğer kolu III. bölgede yer alır

Soru 3a: Bağımsız değişkenin (0,∞) nda aldığı değerler küçüldüğünde fonksiyonun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirtiniz. Bu değişimi fonksiyon grafiğinde y ekseni ile ilişkisini açıklayınız.

Kısa Cevap: x, pozitif tarafta küçüldükçe f(x) büyür. Grafik y eksenine yaklaşırken yukarı doğru yükselir.

Detaylı Cevap: x, (0,∞) aralığında küçüldükçe 0’a yaklaşır.
Bu durumda 1/x değeri büyür.

Örneğin:

• x=2 → f(x)=1/2
• x=1 → f(x)=1
• x=1/2 → f(x)=2
• x=1/10 → f(x)=10

Yani pozitif x değerleri küçüldükçe fonksiyon değerleri artar.
Grafikte bu durum, eğrinin y eksenine yaklaşırken yukarı çıkması şeklinde görülür.

Soru 3b: (-∞,0) nda bağımsız değişkenin aldığı değerlerin büyümesine bağlı olarak fonksiyonun aldığı değerlerin durumunu açıklayınız. Bu durumu fonksiyon grafiğinde y ekseni ile ilişkisini belirtiniz.

Kısa Cevap: x, negatif tarafta büyüdükçe fonksiyon değerleri azalır. Grafik y eksenine yaklaşırken aşağı iner.

Detaylı Cevap: x, (-∞,0) aralığında büyüdükçe yine 0’a yaklaşır. Ancak bu kez x negatif olduğu için fonksiyon değerleri de negatiftir.

Örneğin:

• x=-10 → f(x)=-1/10
• x=-2 → f(x)=-1/2
• x=-1 → f(x)=-1
• x=-1/2 → f(x)=-2

Bu nedenle negatif x değerleri büyüdükçe f(x) daha küçük, yani daha negatif olur.
Grafikte eğri, y eksenine yaklaşırken aşağı doğru sonsuza gider.

Soru 3c: (0,∞) nda bağımsız değişkenin aldığı değerler büyüdüğünde fonksiyonun aldığı değerlerin durumunu açıklayınız. Fonksiyon grafiğinde bu durumun x ekseni ile ilişkisini belirtiniz.

Kısa Cevap: Pozitif x değerleri büyüdükçe fonksiyon değerleri küçülür ve 0’a yaklaşır. Grafik x eksenine yaklaşır.

Detaylı Cevap: x, (0,∞) aralığında büyüdükçe 1/x değeri küçülür.

Örneğin:

• x=1 → f(x)=1
• x=2 → f(x)=1/2
• x=10 → f(x)=1/10

Buna göre fonksiyon değerleri azalır ancak 0 olmaz.
Grafikte sağ tarafta eğri, x eksenine yaklaşır fakat ekseni kesmez.

Soru 3ç: (-∞,0) nda bağımsız değişkenin aldığı değerler küçüldükçe fonksiyonun aldığı değerlerin durumunu açıklayınız. Bu durumu fonksiyon grafiğinde x ekseni ile ilişkisini değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Negatif x değerleri küçüldükçe fonksiyon değerleri artar ve 0’a yaklaşır. Grafik x eksenine alttan yaklaşır.

Detaylı Cevap: x, (-∞,0) aralığında küçüldükçe daha küçük negatif sayılar olur. Bu durumda 1/x değeri 0’a yaklaşır.

Örneğin:

• x=-1 → f(x)=-1
• x=-2 → f(x)=-1/2
• x=-10 → f(x)=-1/10

Bu nedenle fonksiyon değerleri artar, yani daha az negatif olur.
Grafikte üçüncü bölgedeki kol, x eksenine alttan yaklaşır fakat dokunmaz.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 245 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru 4a: Tanım kümesini bulunuz.

Kısa Cevap: f(x)=1/x fonksiyonunun tanım kümesi, 0 hariç tüm gerçek sayılardır.

Verilen fonksiyon f(x)=1/x olduğuna göre payda 0 olamaz. Çünkü bir sayının 0’a bölümü tanımsızdır. Bu nedenle fonksiyonun tanım kümesi:

R - {0}

şeklindedir.

Soru 4b: Görüntü kümesini bulunuz.

Kısa Cevap: Fonksiyonun görüntü kümesi de 0 hariç tüm gerçek sayılardır.

f(x)=1/x fonksiyonunda sonuç hiçbir zaman 0 olmaz. Çünkü bir sayının çarpmaya göre tersi alınırken sonuç 0 çıkmaz. Bu yüzden görüntü kümesi:

R - {0}

olur.

Soru 4c: Fonksiyonun sıfırının olup olmadığını belirleyiniz.

Kısa Cevap: Fonksiyonun sıfırı yoktur.

Fonksiyonun sıfırını bulmak için:

1/x = 0

olması gerekir. Ancak hiçbir gerçek sayı için 1/x ifadesi 0’a eşit olmaz. Bu nedenle fonksiyonun sıfırı yoktur.

Soru 4ç: Fonksiyonun işaretini inceleyiniz.

Kısa Cevap: x pozitifse f(x) pozitiftir, x negatifse f(x) negatiftir.

Fonksiyon:

f(x)=1/x

olduğundan:

• x > 0 ise f(x) > 0
• x < 0 ise f(x) < 0

Yani fonksiyon, x’in işaretiyle aynı işareti alır.

Soru 4d: Fonksiyonun (-∞,0) ve (0,+∞) aralıklarının her birinde artan-azalan olma durumunu belirleyiniz.

Kısa Cevap: Fonksiyon hem (-∞,0) hem de (0,+∞) aralığında azalandır.

Detaylı Cevap: f(x)=1/x fonksiyonunda aynı işaretli iki sayı için küçük olanın tersi daha büyük olur.

Örneğin:

• (0,+∞) aralığında
  2 < 10 ise
  1/2 > 1/10 olur.
• (-∞,0) aralığında
  -10 < -2 ise
  -1/10 > -1/2 olur.

Bu nedenle fonksiyon:

• (-∞,0) aralığında azalan
• (0,+∞) aralığında azalan

bir fonksiyondur.

Soru 4e: Verilen tanım aralığının görüntü aralığını bulunuz.

Kısa Cevap: -4 < x < -2 için görüntü aralığı, -1/2 < y < -1/4 olur.

Verilen aralık: -4 < x < -2

Fonksiyon: y = 1/x

olduğuna göre uç değerler dikkate alınır:

• x=-4 için y=-1/4
• x=-2 için y=-1/2

Fonksiyon bu aralıkta azalan olduğu için görüntü aralığı:

-1/2 < y < -1/4

şeklinde olur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 246 Cevapları (MEB Yayınları)

Soru e: Tablodaki boşlukları doldurunuz.

Kısa Cevap: f(x)=1/x fonksiyonu azalan olduğu için tanım aralığı büyüdükçe görüntü aralığı ters yönde değişir.

1. Satır

Tanım Aralığı: [-5, -1]

Cebirsel İşlem: -5 ≤ x ≤ -1 ise -1 ≤ 1/x ≤ -1/5

Görüntü Aralığı: [-1, -1/5]

2. Satır

Tanım Aralığı: -3 < x < 0

Cebirsel İşlem: -3 < x < 0 ise 1/x < -1/3

Görüntü Aralığı: (-∞, -1/3)

3. Satır

Tanım Aralığı: x > 4

Cebirsel İşlem: x > 4 ise 0 < 1/x < 1/4

Görüntü Aralığı: 0 < y < 1/4

4. Satır

Tanım Aralığı: x < -2

Cebirsel İşlem: x < -2 ise -1/2 < 1/x < 0

Görüntü Aralığı: -1/2 < y < 0

Soru f: Verilen bir tanım aralığının fonksiyondaki karşılığı olan aralığı belirlerken verilen aralıkla rasyonel referans fonksiyonunun azalan olduğu aralıklar arasındaki ilişkiyi yazınız.

Kısa Cevap: f(x)=1/x fonksiyonu azalan olduğu için tanım aralığındaki sıralama, görüntü aralığında tersine döner.

Detaylı Cevap: f(x)=1/x fonksiyonu hem (-∞,0) hem de (0,∞) aralığında azalandır.
Bu yüzden tanım aralığında sayılar büyüdükçe görüntü değerleri küçülür. Yani uç noktalar görüntüye geçirilirken eşitsizlik yönü ters döner.

Örneğin:

• 2 < x < 5 ise
  1/5 < 1/x < 1/2
• -5 < x < -2 ise
  -1/2 < 1/x < -1/5

Soru g: Rasyonel fonksiyonlarda iki nicelik arasındaki ilişkinin doğru ya da ters orantılı çokluklardan hangisi ile temsil edildiği ile ilgili görüşlerinizi yazınız.

Kısa Cevap: Bu ilişki ters orantı ile gösterilir.

Detaylı Cevap: Rasyonel referans fonksiyonu f(x)=1/x biçimindedir. Bu fonksiyonda bir nicelik artarken diğeri azalır. Yani iki nicelik aynı yönde değişmez, ters yönde değişir. Bu nedenle bu tür ilişkiler ters orantılı çokluklarla ifade edilir.

Soru ğ: Rasyonel fonksiyonların gerçek yaşam problemlerinde hangi nicelikler arasındaki ilişkilerin modellenmesinde kullanılabileceğini tartışınız.

Kısa Cevap: Rasyonel fonksiyonlar, ters orantılı nicelikler arasındaki ilişkileri modellemek için kullanılır.

Detaylı Cevap: Rasyonel fonksiyonlar günlük hayatta özellikle bir büyüklük artarken diğerinin azaldığı durumlarda kullanılır. Örnekler:

• Sabit bir yol için hız ile süre arasındaki ilişki
• Sabit işte çalışan kişi sayısı ile bitirme süresi arasındaki ilişki
• Sabit alan için kenar uzunlukları arasındaki ilişki
• Birim fiyat ile alınabilecek ürün miktarı arasındaki ilişki
• Elektrik, su veya yakıt tüketiminde bazı oran ilişkileri

Bu nedenle rasyonel fonksiyonlar, ters orantı içeren gerçek yaşam problemlerini modellemede çok kullanışlıdır.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 247 Cevapları (MEB Yayınları)

h) Rasyonel referans fonksiyonunun bire bir olup olmadığını belirleyiniz.

Kısa Cevap: f(x)=1/x fonksiyonu bire birdir.

Bir fonksiyonun bire bir olması için f(a)=f(b) ⇒ a=b olmalıdır.
1/a = 1/b ⇒ a = b olduğundan fonksiyon bire birdir.

ı) Rasyonel referans fonksiyonunun tek-çift fonksiyon olma durumunu belirleyiniz.

Kısa Cevap: Fonksiyon tektir.

f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x) olduğu için fonksiyon tek fonksiyondur.

i) Rasyonel referans fonksiyonunun örten fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Kısa Cevap: Örten değildir.

Fonksiyonun görüntü kümesi ℝ – {0}’dır.
0 değeri hiçbir x için elde edilemez. Bu yüzden değer kümesi ℝ ise, fonksiyon örten değildir.

j) Rasyonel referans fonksiyonunun maksimum-minimum noktalarının bulunup bulunmadığını belirleyiniz.

Kısa Cevap: Maksimum ve minimum noktası yoktur.

Fonksiyon:

• x → 0 iken değerleri sonsuz büyür veya küçülür
• x → ±∞ iken değerleri 0’a yaklaşır

Bu nedenle fonksiyonun ne maksimum ne de minimum değeri vardır.