10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları – MEB Yayınları
Sayfa 213 | 6. Uygulama
Genel Formdaki Karesel Fonksiyonların Tamkare Formuna Dönüştürülmesi
Soru: Tabloda cebirsel temsilleri f(x)=ax²+bx+c genel formunda verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlara, tamkareye tamamlama işlemi uygulayınız.
Elde edilen tamkare formundan yararlanarak;
- Fonksiyonun grafiğini dönüşümlerle çiziniz,
- (Varsa) sıfırlarını bulunuz ve grafik üzerinde gösteriniz,
- Fonksiyonun işaretini belirleyiniz,
- Simetri doğrusunu ve maksimum–minimum noktasını bulunuz.
1) g(x)=x²−6x
Tamkareye Tamamlama
g(x)=x²−6x
g(x)=x²−6x+9−9
g(x)=(x−3)²−9
Fonksiyonun Sıfırları
(x−3)²−9=0
(x−3)²=9
x−3=±3
x=0 ve x=6
Fonksiyonun İşareti
- g(x)>0 : (−∞,0) ∪ (6,+∞)
- g(x)=0 : x=0 ve x=6
- g(x)<0 : (0,6)
Simetri Doğrusu – Minimum Noktası
- Simetri doğrusu: x=3
- Tepe noktası: (3,−9)
- Minimum değer: −9
- Maksimum değer: Yoktur
Grafik Yorumu
- Parabol yukarı doğru açılır.
- Grafik, 3 birim sağa, 9 birim aşağı ötelenmiştir.
2) h(x)=−x²+2x−1
Tamkareye Tamamlama
h(x)=−x²+2x−1
h(x)=−(x²−2x+1)
h(x)=−(x−1)²
Fonksiyonun Sıfırları
−(x−1)²=0
(x−1)²=0
x=1 (çift katlı kök)
Fonksiyonun İşareti
- h(x)=0 : x=1
- h(x)<0 : (−∞,1) ∪ (1,+∞)
- h(x)>0 : Yoktur
Simetri Doğrusu – Maksimum Noktası
- Simetri doğrusu: x=1
- Tepe noktası: (1,0)
- Maksimum değer: 0
- Minimum değer: Yoktur
Grafik Yorumu
- Parabol aşağı doğru açılır.
- Grafik, 1 birim sağa ötelenmiş ve x eksenine göre yansıtılmıştır.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 214 | 6. Uygulama
Soru: 1) m(x)=x²−4x+5 fonksiyonu için tabloda istenenleri yapınız.
Cevap: Tamkareye Tamamlama
m(x)=x²−4x+5
m(x)=x²−4x+4+1
m(x)=(x−2)²+1
Cevap: Sıfırları
(x−2)²+1=0
(x−2)²=−1 (gerçek sayılarda mümkün değil)
Bu nedenle m(x) fonksiyonunun gerçel kökü (sıfırı) yoktur.
Cevap: İşareti
(x−2)² ≥ 0 olduğu için (x−2)²+1 ≥ 1
m(x) her x için pozitiftir.
m(x) > 0, ∀x∈R
Cevap: Grafiği (kısa tarif)
- Parabol yukarı açılır.
- Tepe noktası: (2,1)
- Simetri ekseni: x=2
Soru: 2) Yukarıda cebirsel temsilleri verilen fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesini sağlayan nokta hakkındaki varsayımlarınızı yazınız.
Cevap: Karesel fonksiyonlarda artma-azalma aralıklarını belirleyen nokta tepe noktasıdır.
- a>0 ise parabol yukarı açılır, fonksiyon tepe noktasına kadar azalır, tepe noktasından sonra artar.
- a<0 ise parabol aşağı açılır, fonksiyon tepe noktasına kadar artar, tepe noktasından sonra azalır.
Tepe noktasının x değeri (simetri doğrusu): x=−b/(2a)
Soru: 3) Varsayımınızı kullanarak fonksiyonların artan-azalan aralıklarını ve maksimum-minimum noktasını/değerini tabloya yazınız.
Verilen fonksiyonlar: f(x)=x²+4x, g(x)=x²−6x, h(x)=−x²+2x−1, m(x)=x²−4x+5
Cevap (Tablo bilgileri):
1) f(x)=x²+4x
- Azalan: (−∞, −2]
- Artan: [−2, +∞)
- Minimum nokta: x=−2
- Minimum değer: f(−2)=−4
- Maksimum: Yoktur
2) g(x)=x²−6x
- Azalan: (−∞, 3]
- Artan: [3, +∞)
- Minimum nokta: x=3
- Minimum değer: g(3)=−9
- Maksimum: Yoktur
3) h(x)=−x²+2x−1=−(x−1)²
- Artan: (−∞, 1]
- Azalan: [1, +∞)
- Maksimum nokta: x=1
- Maksimum değer: h(1)=0
- Minimum: Yoktur
4) m(x)=x²−4x+5=(x−2)²+1
- Azalan: (−∞, 2]
- Artan: [2, +∞)
- Minimum nokta: x=2
- Minimum değer: m(2)=1
- Maksimum: Yoktur
Soru: 4) Aşağıda verilen problemi çözünüz.
Soru: a) x her bir 10 TL’lik fiyat artışını ifade etmek üzere müşteri sayısını ve kahvenin yeni fiyatını cebirsel olarak ifade ediniz.
Başlangıçta: Fiyat = 120 TL, Müşteri = 200 kişi
Fiyat her 10 TL artarsa, müşteri sayısı 20 kişi azalıyor.
Bu durumda x tane 10 TL’lik artış yapılırsa:
- Yeni fiyat: 120 + 10x
- Yeni müşteri sayısı: 200 − 20x
(x≥0 ve müşteri sayısı negatif olamayacağı için 200−20x ≥ 0 → x ≤ 10)
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 215 | 6. Uygulama
Soru: b) Elde ettiğiniz cebirsel ifadelerle kafe sahibinin bu kahveden elde edeceği gelir fonksiyonunu (g(x)) modelleyiniz.
Cevap: Kahvenin yeni fiyatı: 120 + 10x
Müşteri sayısı: 200 − 20x
Gelir fonksiyonu:
g(x) = (120 + 10x)(200 − 20x)
g(x) = 24000 − 400x − 200x²
Soru: c) g fonksiyonunu tamkareye tamamlama metodu ile g(x) = a(x + r)² + k şeklinde yazınız.
Cevap:
g(x) = −200x² − 400x + 24000
g(x) = −200(x² + 2x) + 24000
x² + 2x = (x + 1)² − 1 olduğundan:
g(x) = −200[(x + 1)² − 1] + 24000
g(x) = −200(x + 1)² + 200 + 24000
g(x) = −200(x + 1)² + 24200
Tamkare form: g(x) = −200(x + 1)² + 24200
Soru: ç) Elde ettiğiniz gelir fonksiyonundan yararlanarak kafe sahibinin kahveyi kaç TL’den satarsa maksimum gelire ulaşacağını hesaplayınız.
Cevap: g(x) = −200(x + 1)² + 24200 olduğundan maksimum, karesel terimin içi 0 iken olur:
(x + 1)² = 0 ⇒ x = −1
Fiyat = 120 + 10x = 120 + 10(−1) = 110 TL
Maksimum gelir için kahve fiyatı: 110 TL
Soru: d) Kafe sahibinin bu kahveden bir günde elde edeceği maksimum geliri bulunuz.
Cevap: Maksimum değer tamkare formda k değeridir:
Maksimum gelir: 24200 TL
(İsterseniz kontrol: Fiyat 110 TL, müşteri 220 kişi ⇒ 110 × 220 = 24200 TL)
Soru: 5) Fonksiyonun sıfırlarını, artan-azalan olduğu aralıkları ve maksimum-minimum noktalarını elde ederken kullandığınız tamkareye tamamlama, grafik temsilinden yararlanma ve çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendiriniz. Sonuçları sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
- Tamkareye tamamlama: Tepe noktası (maksimum/minimum) ve en büyük/en küçük değer en hızlı ve en kesin şekilde bulunur.
- Grafik yöntemi: Görsel olarak anlaşılması kolaydır, fakat kesin değer okuma bazen zor olabilir.
- Çarpanlara ayırma: Sıfırları (kökleri) bulmada pratik olabilir; ancak her zaman kolay çarpanlara ayrılamaz.
Sonuç: Kesinlik gereken yerlerde tamkareye tamamlama, hızlı yorum için grafik, kök bulmak için çarpanlara ayırma daha kullanışlıdır.