10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 199-209 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik MEB Sayfa 200 – 5. Uygulama Cevapları

Verilen genel form

k=0 için: g(x)=a·(x+r)² (referans: f(x)=x²)

a) Tablo 1 – r=0, k=0 iken (sadece a değişiyor)

Tablo 1 Doldurulmuş Hali

Not (kısa hatırlatma): a<0 olunca grafik x eksenine göre yansır; |a| büyüdükçe parabola daralır (daha dikleşir).

b) Tablo 2 – k=0 iken (a ve r değişiyor)

Tablo 2 Doldurulmuş Hali

Hızlı kural (Tablo 2’yi doğru doldurmanın anahtarı)

• (x+r) → r>0 ise sola r birim, r<0 ise sağa |r| birim öteleme
• a → |a|>1 ise dikey daralma, 0<|a|<1 ise dikey genişleme, a<0 ise x eksenine göre yansıma

10. Sınıf Matematik MEB Sayfa 201 – Tablo 3 ve Tablo 4 Cevapları

Soru: c) r = 0 iken a ve k sürgüsüne Tablo 3’teki değerleri giriniz ve elde ettiğiniz grafik çizimlerinden yararlanarak aşağıdaki tabloda boş olan kısımları örnekteki gibi doldurunuz.

Cevap: (Tablo 3 – r=0, g(x)=a·x²+k)

1- h(x) için a=1, k=2
Oluşan fonksiyon: h(x)=x²+2
Cebirsel işlem: Her bir x² değerine 2 ekleme
Dönüşüm: y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme

2- m(x) için a=1, k=-1
Oluşan fonksiyon: m(x)=x²−1
Cebirsel işlem: Her bir x² değerinden 1 çıkarma
Dönüşüm: y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme

3- n(x) için a=4, k=3
Oluşan fonksiyon: n(x)=4x²+3
Cebirsel işlem: Her bir x² değerini 4 ile çarpma, sonra 3 ekleme
Dönüşüm: 4 kat dikey daralma + y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme

4- s(x) için a=-2, k=-2
Oluşan fonksiyon: s(x)=−2x²−2
Cebirsel işlem: Her bir x² değerini −2 ile çarpma, sonra 2 çıkarma
Dönüşüm: x eksenine göre yansıma + 2 kat dikey daralma + y ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme

Soru: ç) a, r ve k sürgüsüne Tablo 4’teki değerleri giriniz ve elde ettiğiniz grafik çizimlerinden yararlanarak aşağıdaki tabloda boş olan kısımları örnekteki gibi doldurunuz.

Cevap: (Tablo 4 – g(x)=a·(x+r)²+k)

1- h(x) için a=1, r=1, k=3
Oluşan fonksiyon: h(x)=(x+1)²+3
Cebirsel işlem: Bağımsız değişkenin 1 fazlasının aldığı değerin karesine 3 ekleme
Dönüşüm: x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme

2- m(x) için a=1, r=-2, k=-1
Oluşan fonksiyon: m(x)=(x−2)²−1
Cebirsel işlem: Bağımsız değişkenin 2 eksiğinin aldığı değerin karesinden 1 çıkarma
Dönüşüm: x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme

3- n(x) için a=2, r=3, k=-4
Oluşan fonksiyon: n(x)=2(x+3)²−4
Cebirsel işlem: Bağımsız değişkenin 3 fazlasının aldığı değerin karesini 2 ile çarpma, 4 çıkarma
Dönüşüm: x ekseni boyunca negatif yönde 3 birim, y ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme + 2 kat dikey daralma

4- s(x) için a=-1, r=-1, k=1
Oluşan fonksiyon: s(x)=−(x−1)²+1
Cebirsel işlem: Bağımsız değişkenin 1 eksiğinin aldığı değerin karesini −1 ile çarpma, 1 ekleme
Dönüşüm: x ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme + x eksenine göre yansıma

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 202

Soru: 2) Aşağıdaki tabloyu f: R → R, f(x)=x² şeklinde tanımlı f karesel referans fonksiyonuna uygulanan dönüşümlerle elde edilen karesel fonksiyonların cebirsel ve grafik temsillerini örnekteki gibi doldurunuz. Grafik temsilini matematik yazılımlarını kullanarak oluşturunuz.

Örnek satır (kitaptaki)

• Dönüşüm: 4 kat dikey daralma
• Cebirsel temsil: g(x)=4x²
• Grafik: Tepe noktası (0,0), daha dar parabol.

1) Satır: x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme

Cebirsel Temsili: h(x)=−(x+2)²

Grafik Temsili (çizim için temel noktalar)

• Tepe noktası: (−2, 0)
• Aşağı açılır (çünkü − var)

Örnek noktalar:

• x=−1 ⇒ h(−1)=−1 → (−1,−1)
• x=−3 ⇒ h(−3)=−1 → (−3,−1)

2) Satır: x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme

Cebirsel Temsili: k(x)=(x−3)²+2

Grafik Temsili (çizim için temel noktalar)

• Tepe noktası: (3, 2)
• Yukarı açılır

Örnek noktalar:

• x=4 ⇒ k(4)=3 → (4,3)
• x=2 ⇒ k(2)=3 → (2,3)

3) Satır: 2 kat dikey genişleme, x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme

Cebirsel Temsili: t(x)=−2(x−2)²+1

Grafik Temsili (çizim için temel noktalar)

• Tepe noktası: (2,1)
• Aşağı açılır (çünkü −2) ve daha dar görünür (|a| büyüdüğü için)

Örnek noktalar:

• x=1 ⇒ t(1)=−1 → (1,−1)
• x=3 ⇒ t(3)=−1 → (3,−1)

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 203

Soru: 3) f: R → R, f(x)=x² şeklinde tanımlı f karesel referans fonksiyonunun nitel özelliklerinden hareketle aşağıda cebirsel temsili verilen karesel fonksiyonun nitel özellikleri ile ilgili varsayımlarınızı örnekteki gibi ifade ediniz.

Verilen: g(x)=a·(x+r)²+k (a, r, k ∈ R, a≠0, r>0, k>0)

Cevap (Tablo – Varsayımlar)

Tanım Kümesi

• a>0 için: Tanım kümesi R’dir.
• a<0 için: Tanım kümesi R’dir.

Görüntü Kümesi

a>0 için: Parabol yukarı açılır, en küçük değer k olur.
Görüntü kümesi: [k, ∞)

a<0 için: Parabol aşağı açılır, en büyük değer k olur.
Görüntü kümesi: (−∞, k]

İşareti

a>0 için: k>0 olduğundan g(x) ≥ k > 0 → fonksiyon her zaman pozitiftir.
(g(x) > 0 tüm x ∈ R için)

a<0 için: tepe değeri k>0 ama aşağı açıldığı için yeterince uzak x’lerde değerler küçülür ve negatif olur.
Fonksiyon bazı x’lerde pozitif, bazı x’lerde negatiftir.

İstersen net eşik de yazılabilir: g(x)=0 ⇒ a(x+r)²+k=0 ⇒ (x+r)²=−k/a.
a<0 iken −k/a > 0 olur ve kök vardır.

Artanlığı – Azalanlığı

Tepe noktası x=−r’dedir.

a>0 için: (−∞, −r] aralığında azalan, [−r, ∞) aralığında artan

a<0 için: (−∞, −r] aralığında artan, [−r, ∞) aralığında azalan

Maksimum – Minimum Noktaları ve Değerleri

Tepe noktası: (−r, k)

a>0 için:
Minimum nokta: (−r, k)
Minimum değer: k
Maksimum: yoktur

a<0 için:
Maksimum nokta: (−r, k)
Maksimum değer: k
Minimum: yoktur

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 204

Soru: a) Verilen fonksiyonların grafiklerini matematik yazılımları kullanarak çiziniz, tabloda istenen nitel özellikleri örnekteki gibi doldurunuz.

Cevap (Tabloyu örneğe göre dolduralım)

1) h(x)=3x²

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım kümesi: R
• Görüntü kümesi: [0, ∞)

İnceleme Türü: Cebirsel

• Tanım kümesi: x² her x için tanımlı ve 3 ile çarpma tanımı bozmaz, bu nedenle tanım kümesi R’dir.
• Görüntü kümesi: 3x² ≥ 0 olduğundan en küçük değer 0, üst sınır yok → [0, ∞)

2) m(x)=−2(x+2)²

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım kümesi: R
• Görüntü kümesi: (−∞, 0]

İnceleme Türü: Cebirsel

• Tanım kümesi: (x+2)² her x için tanımlıdır, −2 ile çarpma tanımı bozmaz → tanım kümesi R’dir.
• Görüntü kümesi: (x+2)² ≥ 0 olduğundan −2(x+2)² ≤ 0.

En büyük değer 0 (x=−2’de), alt sınır yok → (−∞, 0]

3) n(x)=3(x−1)²+1

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım kümesi: R
• Görüntü kümesi: [1, ∞)

İnceleme Türü: Cebirsel

• Tanım kümesi: (x−1)² her x için tanımlıdır, 3 ile çarpıp 1 eklemek tanımı bozmaz → tanım kümesi R’dir.
• Görüntü kümesi: (x−1)² ≥ 0 ⇒ 3(x−1)² ≥ 0 ⇒ 3(x−1)²+1 ≥ 1.

En küçük değer 1 (x=1’de), üst sınır yok → [1, ∞)

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 205

Soru: b) Verilen fonksiyonların grafiklerini matematik yazılımları kullanarak çiziniz, tabloda istenen nitel özellikleri örnekteki gibi doldurunuz.

Cevap (Örneğe uygun tablo doldurma)

1) h(x)=3x²

İnceleme Türü: Grafik

Artan–Azalan Olduğu Aralıklar

• (−∞, 0] aralığında azalan
• [0, ∞) aralığında artan

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• Minimum nokta: (0, 0)
• Minimum değer: 0
• Maksimum değer: yoktur

İnceleme Türü: Cebirsel

Artan–Azalan Olduğu Aralıklar

• Tepe noktası x=0’dır.
• x<0 iken x sıfıra yaklaşınca x² küçülür, dolayısıyla 3x² azalır → (−∞,0] azalan
• x>0 iken x büyüdükçe x² büyür, dolayısıyla 3x² artar → [0,∞) artan

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• 3x² ≥ 0 olduğu için en küçük değer 0’dır ve x=0’da alınır.
• Yukarı doğru sınırsız arttığı için maksimum yoktur.

2) m(x)=−2(x+2)²

İnceleme Türü: Grafik

Artan–Azalan Olduğu Aralıklar

• (−∞, −2] aralığında artan
• [−2, ∞) aralığında azalan

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• Maksimum nokta: (−2, 0)
• Maksimum değer: 0
• Minimum değer: yoktur

İnceleme Türü: Cebirsel

Artan–Azalan Olduğu Aralıklar

• Tepe noktası x=−2’dir (çünkü (x+2)² ifadesi en küçük değeri x=−2’de alır).
• x değerleri −2’ye yaklaşırken (soldan) (x+2)² küçülür, bu yüzden −2(x+2)² büyür → (−∞,−2] artan
• x değeri −2’den uzaklaştıkça (sağa doğru) (x+2)² büyür, bu yüzden −2(x+2)² küçülür → [−2,∞) azalan

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• (x+2)² ≥ 0 olduğundan −2(x+2)² ≤ 0.
• En büyük değer 0’dır ve x=−2’de alınır.
• Aşağı doğru sınırsız gittiği için minimum yoktur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 206

Soru: a) Verilen fonksiyonların grafiklerini tablodaki dik koordinat sistemine çiziniz. Tabloyu fonksiyonların grafik temsillerinden yararlanarak doldurunuz.

Cevap (Soruları tam yazıp tabloyu dolduralım)

1) k(x)=2x²

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım Kümesi: R
• Görüntü Kümesi: [0, +∞)

İnceleme Türü: Cebirsel

• Tanım Kümesi: x² her gerçek sayı için tanımlıdır, 2 ile çarpma tanımı bozmaz → R
• Görüntü Kümesi: 2x² ≥ 0 olduğundan en küçük değer 0’dır → [0, +∞)

2) r(x)=−2(x−1)²

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım Kümesi: R
• Görüntü Kümesi: (−∞, 0]

İnceleme Türü: Cebirsel

Tanım Kümesi: (x−1)² her x için tanımlıdır, −2 ile çarpma tanımı bozmaz → R

Görüntü Kümesi: (x−1)² ≥ 0 ⇒ −2(x−1)² ≤ 0
En büyük değer 0 (x=1’de) → (−∞, 0]

3) n(x)=3(x−1)²+1

İnceleme Türü: Grafik

• Tanım Kümesi: R
• Görüntü Kümesi: [1, +∞)

İnceleme Türü: Cebirsel

Tanım Kümesi: (x−1)² her x için tanımlıdır, 3 ile çarpıp 1 eklemek tanımı bozmaz → R

Görüntü Kümesi: (x−1)² ≥ 0 ⇒ 3(x−1)² ≥ 0 ⇒ 3(x−1)²+1 ≥ 1
En küçük değer 1 (x=1’de) → [1, +∞)

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 207

Soru: b) Verilen fonksiyonların grafiklerini tablodaki dik koordinat sistemine çiziniz. Tabloyu fonksiyonların grafik temsillerinden yararlanarak doldurunuz.

1) k(x)=2x²

İnceleme Türü: Grafik

• Azalan olduğu aralık: (−∞, 0]
• Artan olduğu aralık: [0, +∞)
• Minimum nokta ve değeri: (0,0), min = 0
• Maksimum: yoktur

İnceleme Türü: Cebirsel

• 2x² ≥ 0 ⇒ en küçük değer 0 ve x=0’da alınır.
• Bu nedenle (−∞,0] azalan, [0,∞) artan, maksimum yoktur.

2) r(x)=−2(x−1)²

İnceleme Türü: Grafik

• Artan olduğu aralık: (−∞, 1]
• Azalan olduğu aralık: [1, +∞)
• Maksimum nokta ve değeri: (1,0), maks = 0
• Minimum: yoktur

İnceleme Türü: Cebirsel

• (x−1)² ≥ 0 ⇒ −2(x−1)² ≤ 0.
• En büyük değer 0 olup x=1’de alınır; aşağı açıldığı için (−∞,1] artan, [1,∞) azalan, minimum yoktur.

3) n(x)=3(x−1)²+1

İnceleme Türü: Grafik

• Azalan olduğu aralık: (−∞, 1]
• Artan olduğu aralık: [1, +∞)
• Minimum nokta ve değeri: (1,1), min = 1
• Maksimum: yoktur

İnceleme Türü: Cebirsel

• (x−1)² ≥ 0 ⇒ 3(x−1)²+1 ≥ 1.
• En küçük değer 1 ve x=1’de alınır; yukarı açıldığı için (−∞,1] azalan, [1,∞) artan, maksimum yoktur.

Önemli not: n(x)=3(x−1)²+1 için minimum değer −1 değil, 1’dir.

Soru: 6) 4 ve 5. maddelerdeki n fonksiyonunun çizimini yaptığınız grafik ile kullandığınız matematik yazılımından elde ettiğiniz nitel özelliklerini karşılaştırınız. Elde ettiğiniz farklı sonuçlar varsa nedenlerini sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.

• n(x)=3(x−1)²+1 için hem çizimde hem yazılımda tepe noktası (1,1), minimum 1, maksimum yoktur.
• Fark çıkmasının olası nedenleri: +1 dikey ötelemenin unutulması, (x−1)² yerine (x+1)² yazılması, tepe noktasının yanlış işaretlenmesi veya grafik ölçeğinin yanlış okunması.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 208

Soru: 7) Önceki sayfadaki tablolardan elde ettiğiniz bilgileri varsayımlarınız ile karşılaştırarak f: R → R, f(x)=x² şeklinde tanımlı f karesel referans fonksiyonundan türetilmiş g(x)=a·(x+r)²+k (a,r,k∈R, a≠0) karesel fonksiyonların nitel özellikleri hakkındaki önermenizi a>0, r>0, k>0 ve a<0, r>0, k>0 için ayrı ayrı oluşturunuz. Oluşturduğunuz önermeyi sözel olarak veya cebirsel dil ile ifade ediniz.

Cevap (Önerme / Genelleme)

1) a>0, r>0, k>0 için (parabol yukarı açılır)

Tanım Kümesi

• Tanım kümesi: R

Görüntü Kümesi

• Görüntü kümesi: [k, +∞)

Artanlığı–Azalanlığı

• Azalan: (−∞, −r]
• Artan: [−r, +∞)

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• Minimum nokta: (−r, k)
• Minimum değer: k
• Maksimum: yoktur

2) a<0, r>0, k>0 için (parabol aşağı açılır)

Tanım Kümesi

• Tanım kümesi: R

Görüntü Kümesi

• Görüntü kümesi: (−∞, k]

Artanlığı–Azalanlığı

• Artan: (−∞, −r]
• Azalan: [−r, +∞)

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• Maksimum nokta: (−r, k)
• Maksimum değer: k
• Minimum: yoktur

Soru: 8) … f(t)=−1/2 (t−4)²+8 şeklinde tanımlanan karesel fonksiyon ile modellenmiştir. Buna göre

Soru: a) Topun çıkabileceği maksimum yüksekliğin, karesel referans fonksiyonuna hangi dönüşümlerin uygulanmasıyla bulunabileceğini sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.

Cevap: Referans fonksiyon: y=x²

f(t)=−1/2 (t−4)²+8 fonksiyonunu elde etmek için uygulanan dönüşümler:

Dönüşümler

1. (t−4)²: Grafiği 4 birim sağa öteleme
2. − işareti: x eksenine göre yansıma (parabol aşağı açılır)
3. 1/2 katsayısı: Dikeyde 1/2 oranında ölçekleme (daha geniş görünür)
4. +8: Grafiği 8 birim yukarı öteleme

Maksimum yükseklik

• Parabol aşağı açıldığı için maksimum değer tepe noktasındadır.
• Tepe noktası: (4, 8)
• Topun çıkabileceği maksimum yükseklik: 8 metre

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB) – Sayfa 209

Soru: b) Topun yüksekliğinin arttığı ve azaldığı zaman aralıklarını belirleyiniz.

• Tepe noktası t=4 olduğundan topun yüksekliği 0<t<4 aralığında artar.
• t>4 olduğunda topun yüksekliği azalır.

Not (fiziksel zaman): Top yerden atılıp tekrar yere indiği için 0≤t≤8 alınır; bu durumda [0,4] artan, [4,8] azalan.

Soru: 9) f: R → R, f(x)=x² şeklinde tanımlı f karesel referans fonksiyonundan türetilmiş g(x)=a·(x+r)²+k (a,r,k∈R, a≠0) karesel fonksiyonlarının a>0, r>0 ve k>0 için grafiği aşağıdaki dik koordinat sistemine çizilmiştir. g fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili önermelerinizi verilen grafik yardımıyla doğrulayınız veya cebirsel olarak ispatlayınız.

Cevap (Tabloyu doldurma – a>0, r>0, k>0)

Tanım Kümesi

• Grafik ile doğrulama: Grafik tüm x değerleri için çizilebildiğinden tanım kümesi R’dir.
• Cebirsel ispat: (x+r)² her x∈R için tanımlıdır, a≠0 ve +k tanımı bozmaz ⇒ Tanım kümesi R’dir.

Görüntü Kümesi

• Grafik ile doğrulama: En küçük y değeri tepe noktasında k’dır; yukarı doğru sonsuza gider ⇒ [k, +∞).
• Cebirsel ispat: (x+r)² ≥ 0 ⇒ a(x+r)² ≥ 0 (a>0) ⇒ g(x)=a(x+r)²+k ≥ k ⇒ Görüntü kümesi [k, +∞).

İşareti

• Grafik ile doğrulama: k>0 olduğu için grafik x ekseninin üstündedir ⇒ g(x)>0.
• Cebirsel ispat: g(x) ≥ k ve k>0 ⇒ g(x)>0 (tüm x için).

Artanlığı–Azalanlığı

• Grafik ile doğrulama: Tepe noktası x=−r’ye kadar azalır, x=−r’den sonra artar.
• Cebirsel ispat: Simetri ekseni x=−r’dir ⇒ Azalan: (−∞,−r], Artan: [−r,+∞).

Maksimum–Minimum Noktaları ve Değerleri

• Grafik ile doğrulama: En düşük nokta (−r,k)’dır; maksimum yoktur.
• Cebirsel ispat: g(x)≥k olduğundan minimum değer k ve x=−r’de alınır; yukarı sınırsız ⇒ maksimum yoktur.

Soru: 10) … Bu yöntemleri g(x)=x²+2 şeklinde tanımlı g karesel fonksiyonunun nitel özelliklerinden bire birlik ve artan-azalanlığının grafik ile doğrulama ve cebirsel ispatını yapınız. Bu yöntemleri kullanışlılık açısından değerlendiriniz.

Cevap. g(x)=x²+2 için artan–azalanlık

• Grafik ile doğrulama: Tepe noktası (0,2) olduğundan (−∞,0] azalan, [0,+∞) artandır.
• Cebirsel ispat: x² simetrik olduğundan g(x) x=0’a kadar azalır, sonra artar ⇒ (−∞,0] azalan, [0,∞) artan.

g(x)=x²+2 için bire birlik

• Grafik ile doğrulama: Y eksenine göre simetrik olduğu için aynı y değerine iki farklı x karşılık gelebilir (g(1)=g(−1)=3) ⇒ bire bir değildir.
• Cebirsel ispat: g(1)=1²+2=3 ve g(−1)=(−1)²+2=3, fakat 1≠−1 ⇒ bire bir değildir.

Yöntemleri kullanışlılık açısından değerlendirme

• Grafik yöntemi: Hızlı ve görseldir, artma-azalma ve tepe noktasını çabuk gösterir.
• Cebirsel yöntem: Kesin ve hataya daha kapalıdır, özellikle “bire bir mi?” gibi durumlarda net kanıt sağlar.